Calcule a área da região polar que está situada simultaneamente no interior dos seguintes pares de curvas:
r=\operatorname{sen}(\theta) e r=1-\cos (\theta);

Passo 1

O enunciado pede a área da região em coordenadas polares que satisfaz simultaneamente
r \le \sin(\theta) \quad\text{e}\quad r \le 1 - \cos(\theta).
O conteúdo necessário é: encontrar onde as curvas se intersectam, determinar qual delas é a menor (dá o limite superior de r) em cada intervalo de \theta, e então usar a fórmula da área em coordenadas polares
A = \frac12 \int_{\theta_1}^{\theta_2} \bigl(r_{\max}(\theta)\bigr)^2\,d\theta.

Passo 2

Determinar as interseções resolvendo
\sin(\theta) = 1 - \cos(\theta) \;\Longrightarrow\; \sin(\theta) + \cos(\theta) = 1.
Reescrevendo \sin\theta + \cos\theta = \sqrt2\sin\bigl(\theta+\tfrac\pi4\bigr), a equação vira
\sqrt2\sin\!\bigl(\theta+\tfrac\pi4\bigr) = 1 \;\Longrightarrow\; \sin\!\bigl(\theta+\tfrac\pi4\bigr) = \tfrac1{\sqrt2}.
As soluções no intervalo principal são \theta+\tfrac\pi4 = \tfrac\pi4 e \theta+\tfrac\pi4 = \tfrac{3\pi}4, ou seja
\theta = 0 \quad\text{e}\quad \theta = \tfrac\pi2.

Passo 3

Precisamos ver qual curva fica por baixo (menor r) em cada intervalo de \theta.
  • Para 0 < \theta < \tfrac\pi2 verifica-se que \sin\theta > 1 - \cos\theta, logo
r_{\max}(\theta) = 1 - \cos(\theta).
  • Para \tfrac\pi2 < \theta < \pi ocorre \sin\theta < 1 - \cos\theta, logo
r_{\max}(\theta) = \sin(\theta).

Passo 4

A área total é soma das áreas sobre cada trecho de \theta:
A = \frac12 \int_{0}^{\pi/2} \bigl(1 - \cos\theta\bigr)^2 \,d\theta \;+\; \frac12 \int_{\pi/2}^{\pi} \bigl(\sin\theta\bigr)^2 \,d\theta.

Passo 5

Calcular
I_1 = \int_{0}^{\pi/2} (1 - \cos\theta)^2\,d\theta = \int_{0}^{\pi/2} \bigl(1 - 2\cos\theta + \cos^2\theta\bigr)\,d\theta.
Usando \cos^2\theta = \tfrac12(1+\cos2\theta), obtém-se após integração
I_1 = \bigl[\theta - 2\sin\theta + \tfrac12\theta + \tfrac14\sin2\theta\bigr]_0^{\pi/2} = \frac{3\pi}{4} - 2.

Passo 6

Calcular
I_2 = \int_{\pi/2}^{\pi} \sin^2\theta \,d\theta = \int_{\pi/2}^{\pi} \frac{1 - \cos2\theta}{2}\,d\theta = \Bigl[\tfrac\theta2 - \tfrac{\sin2\theta}{4}\Bigr]_{\pi/2}^{\pi} = \frac\pi4.

Passo 7

Somando e aplicando o fator \tfrac12:
A = \frac12\bigl(I_1 + I_2\bigr) = \frac12\Bigl(\bigl(\tfrac{3\pi}{4}-2\bigr) + \tfrac\pi4\Bigr) = \frac12\bigl(\pi - 2\bigr) = \frac{\pi}{2} - 1.

Resposta

A = \frac{\pi}{2} \;-\; 1.

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