1. \int \frac{e^{x}}{e^{2 x}+1} d x \quad \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots \ldots .\left(\right. resp. \left.\quad \arctan e^{x}+C\right)

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{e^x}{e^{2x}+1}\,dx.
O conteúdo principal é integração por substituição, pois no denominador temos e^{2x}=(e^x)^2 e no numerador aparece e^x\,dx, que é a derivada natural de e^x.

Passo 2

Fazemos a substituição
u = e^x.
Dessa forma,
\frac{du}{dx} = e^x \quad\Longrightarrow\quad du = e^x\,dx.

Passo 3

Reescrevendo a integral em função de u, temos
e^{2x} = (e^x)^2 = u^2 \quad\text{e}\quad e^x\,dx = du,
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\int \frac{e^x}{e^{2x}+1}\,dx = \int \frac{1}{u^2+1}\,du.

Passo 4

Reconhecemos que
\int \frac{1}{u^2+1}\,du
é a integral da derivada de \arctan(u), pois
\frac{d}{du}\bigl(\arctan(u)\bigr) = \frac{1}{1+u^2}.
Portanto,
\int \frac{1}{u^2+1}\,du = \arctan(u) + C.

Passo 5

Voltando à variável x pela substituição u=e^x, obtemos
\arctan(e^x) + C.

Resposta

\arctan(e^x) + C

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