Considere o conjunto de funções:
F=1, cos (pi xL), cos (2 pi xL), ldots cos (m pi xL), ldots, sen(pi xL), sen(2 pi xL), ldots sen(m pi xL), ldots
onde L in R+^*.
Mostre que cos (m pi xL) e sen (n pi xL) são linearmente independentes (L.I.). ( m e n são números naturais.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de funções que inclui funções constantes, cossenos e senos com diferentes múltiplos de pi x / L. O nosso objetivo aqui é mostrar que uma função cosseno do tipo cos(m pi xL) e uma função seno do tipo sin(n pi xL) são linearmente independentes. Isso significa que nenhuma das funções pode ser escrita como uma combinação linear da outra. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é independência linear e usar um pouquinho de cálculo e álgebra.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa dizer que duas funções são linearmente independentes. Basicamente, isso quer dizer que se fizermos uma combinação linear delas igual a zero, os únicos coeficientes que funcionam são os coeficientes zero. Em termos matemáticos, se temos:
a cdot cos(m pi xL) + b cdot sin(n pi xL) = 0
para todo x, então necessariamente a = 0 e b = 0. Se a única solução para essa equação é zero para ambos a e b, as funções são linearmente independentes.

Passo 3

Vamos assumir que:
a cdot cos(m pi xL) + b cdot sin(n pi xL) = 0
para todo x. Nosso objetivo é mostrar que a e b devem ser zero.

Passo 4

Para encontrar os valores de a e b, podemos escolher valores específicos de x que simplifiquem a equação. Vamos escolher x = 0:
a cdot cos(0) + b cdot sin(0) = 0
Sabemos que cos(0) = 1 e sin(0) = 0, então:
a cdot 1 + b cdot 0 = 0 Rightarrow a = 0

Passo 5

Agora que sabemos que a = 0, a equação original simplifica para:
0 + b cdot sin(n pi xL) = 0
Isso significa que:
b cdot sin(n pi xL) = 0

Passo 6

A função seno, sin(n pi xL), não é sempre zero para todos os valores de x. Portanto, para a equação acima ser verdadeira para todo x, precisamos que b = 0.

Passo 7

Chegamos então que a = 0 e b = 0 são as únicas soluções possíveis para a equação inicial. Isso confirma que as funções cos(m pi xL) e sin(n pi xL) são linearmente independentes.

Resposta

As funções cos(m pi xL) e sin(n pi xL) são linearmente independentes.

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