Considere o conjunto de funções:
onde
.
Mostre que
e sen
são linearmente independentes (L.I.). (
e
são números naturais.)
Mostre que
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um conjunto de funções que inclui funções constantes, cossenos e senos com diferentes múltiplos de
. O nosso objetivo aqui é mostrar que uma função cosseno do tipo
e uma função seno do tipo
são linearmente independentes. Isso significa que nenhuma das funções pode ser escrita como uma combinação linear da outra. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é independência linear e usar um pouquinho de cálculo e álgebra.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa dizer que duas funções são linearmente independentes. Basicamente, isso quer dizer que se fizermos uma combinação linear delas igual a zero, os únicos coeficientes que funcionam são os coeficientes zero. Em termos matemáticos, se temos:
para todo
, então necessariamente
e
. Se a única solução para essa equação é zero para ambos
e
, as funções são linearmente independentes.
Passo 3
Vamos assumir que:
para todo
. Nosso objetivo é mostrar que
e
devem ser zero.
Passo 4
Para encontrar os valores de
e
, podemos escolher valores específicos de
que simplifiquem a equação. Vamos escolher
:
Sabemos que
e
, então:
Passo 5
Agora que sabemos que
, a equação original simplifica para:
Isso significa que:
Passo 6
A função seno,
, não é sempre zero para todos os valores de
. Portanto, para a equação acima ser verdadeira para todo
, precisamos que
.
Passo 7
Chegamos então que
e
são as únicas soluções possíveis para a equação inicial. Isso confirma que as funções
e
são linearmente independentes.
Resposta
As funções
e
são linearmente independentes.