Calcule a integral de linha onde C é a curva dada.
integralC x+y d s, onde C é a fronteira do triângulo de vértices (0,0),(1,0) e (0,1);

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha integralC (x + y) , ds, onde C é o contorno de um triângulo com vértices em (0,0), (1,0) e (0,1). Isso envolve conceitos de cálculo de integrais ao longo de curvas, especificamente integrais de linha onde a função é multiplicada pelo elemento de comprimento ds.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a curva C. Como é a fronteira de um triângulo com vértices em (0,0), (1,0) e (0,1), ela é composta por três lados:
  1. Lado 1: De (0,0) a (1,0)
  2. Lado 2: De (1,0) a (0,1)
  3. Lado 3: De (0,1) a (0,0)
Vamos calcular a integral em cada um desses lados separadamente e depois somar os resultados.

Passo 3

Calculando a Integral no Lado 1: (0,0) a (1,0)
Nesse lado, a variável y é sempre zero, já que estamos no eixo x. Então, podemos parametrizar essa parte da curva como:
y = 0 e x varia de 0 a 1
O elemento de comprimento ds aqui é simplesmente dx, pois dy = 0. Assim, a integral fica:
I1 = integral0^1 (x + 0) , dx = integral0^1 x , dx
Calculando essa integral:
I1 = [12x^2]0^1 = 12(1)^2 - 12(0)^2 = 12

Passo 4

Calculando a Integral no Lado 2: (1,0) a (0,1)
Esse lado é a hipotenusa do triângulo e a equação da reta que o representa é x + y = 1, ou seja, y = 1 - x. Aqui, x varia de 1 a 0.
Para encontrar ds, usamos a fórmula:
ds = raiz(dxdt)^2 + (dydt)^2 , dt
Mas como estamos parametrizando com x variando diretamente, temos dydx = -1. Assim,
ds = raiz1 + (-1)^2 , dx = raiz2 , dx
Agora, a integral fica:
I2 = integral1^0 (x + y) , ds = integral1^0 (x + (1 - x)) raiz2 , dx = integral1^0 (1) raiz2 , dx
Invertendo os limites de integração:
I2 = raiz2 integral0^1 dx = raiz2 [x]0^1 = raiz2(1 - 0) = raiz2

Passo 5

Calculando a Integral no Lado 3: (0,1) a (0,0)
Nesse lado, a variável x é sempre zero, já que estamos no eixo y. Podemos parametrizar essa parte como:
x = 0 e y varia de 1 a 0
O elemento de comprimento ds aqui é simplesmente dy, pois dx = 0. Assim, a integral fica:
I3 = integral1^0 (0 + y) , dy = integral1^0 y , dy
Invertendo os limites de integração:
I3 = integral0^1 y , dy = [12y^2]0^1 = 12(1)^2 - 12(0)^2 = 12

Passo 6

Somando as Integrais dos Três Lados
Agora, basta somar as integrais calculadas em cada lado:
I = I1 + I2 + I3 = 12 + raiz2 + 12 = 1 + raiz2

Resposta

A integral de linha é igual a 1 + raiz2.

Exercícios relacionados