Calcule a integral de linha onde
é a curva dada.
, onde
é a fronteira do triângulo de vértices
e
;
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a integral de linha
, onde
é o contorno de um triângulo com vértices em
,
e
. Isso envolve conceitos de cálculo de integrais ao longo de curvas, especificamente integrais de linha onde a função é multiplicada pelo elemento de comprimento
.
Passo 2
Primeiro, vamos entender a curva
. Como é a fronteira de um triângulo com vértices em
,
e
, ela é composta por três lados:
- Lado 1: De
a - Lado 2: De
a - Lado 3: De
a
Vamos calcular a integral em cada um desses lados separadamente e depois somar os resultados.
Passo 3
Calculando a Integral no Lado 1:
a
Nesse lado, a variável
é sempre zero, já que estamos no eixo
. Então, podemos parametrizar essa parte da curva como:
O elemento de comprimento
aqui é simplesmente
, pois
. Assim, a integral fica:
Calculando essa integral:
Passo 4
Calculando a Integral no Lado 2:
a
Esse lado é a hipotenusa do triângulo e a equação da reta que o representa é
, ou seja,
. Aqui,
varia de
a
.
Para encontrar
, usamos a fórmula:
Mas como estamos parametrizando com
variando diretamente, temos
. Assim,
Agora, a integral fica:
Invertendo os limites de integração:
Passo 5
Calculando a Integral no Lado 3:
a
Nesse lado, a variável
é sempre zero, já que estamos no eixo
. Podemos parametrizar essa parte como:
O elemento de comprimento
aqui é simplesmente
, pois
. Assim, a integral fica:
Invertendo os limites de integração:
Passo 6
Somando as Integrais dos Três Lados
Agora, basta somar as integrais calculadas em cada lado:
Resposta
A integral de linha é igual a
.