Calcule a área da região R delimitada pelas hipérboles H_{1}: x y=1 e H_{2}: x y=2, e as retas r_{1}: y=x e r_{2}: y=x+1, no primeiro quadrante.

Passo 1

O enunciado pede a área da região R no primeiro quadrante limitada pelas hipérboles
H_{1}: xy = 1,\quad H_{2}: xy = 2
e pelas retas
r_{1}: y = x,\quad r_{2}: y = x + 1.
O conteúdo usado será mudança de variáveis em integrais duplas. Vamos escolher variáveis que transformem as hipérboles e as retas em retângulo no plano das novas variáveis.

Passo 2

Definimos
u = xy,\quad v = y - x.
Nas fronteiras de R temos
xy = 1\implies u=1,\quad xy = 2\implies u=2,
y - x = 0\implies v=0,\quad y - x = 1\implies v=1.
Logo o domínio em (u,v) é o retângulo
1 \le u \le 2,\quad 0 \le v \le 1.

Passo 3

Para calcular o jacobiano, escrevemos
y = x + v,\quad u = x(x+v)=x^2 + vx.
Da equação x^2 + v x - u = 0 obtemos a solução positiva
x = \frac{-v + \sqrt{v^2 + 4u}}{2}, \quad y = x + v = \frac{v + \sqrt{v^2 + 4u}}{2}.
Chamando S = \sqrt{v^2 + 4u}, calcula-se
\frac{\partial(x,y)}{\partial(u,v)} = \begin{vmatrix} x_u & x_v\\\ y_u & y_v \end{vmatrix} = x_u = \frac{1}{S} = \frac{1}{\sqrt{v^2 + 4u}}.

Passo 4

A área de R é
\iint_{R} dA = \iint_{[1,2]\times[0,1]} \frac{1}{\sqrt{v^2 + 4u}}\,dv\,du.

Passo 5

Integramos primeiro em v, usando \displaystyle \int \frac{dv}{\sqrt{v^2 + a^2}} = \ln\bigl(v + \sqrt{v^2 + a^2}\bigr). Aqui a = 2\sqrt{u}, então
\int_{0}^{1}\frac{dv}{\sqrt{v^2+4u}} = \left.\ln\!\bigl(v + \sqrt{v^2+4u}\bigr)\right|_{0}^{1} = \ln\!\frac{1+\sqrt{1+4u}}{2\sqrt{u}}.
Logo
\text{Área} = \int_{1}^{2} \ln\!\frac{1+\sqrt{1+4u}}{2\sqrt{u}}\;du.Á

Passo 6

Para calcular \displaystyle \int_{1}^{2} \ln\!\frac{1+\sqrt{1+4u}}{2\sqrt{u}}\,du,
separa-se
\ln\!\frac{1+\sqrt{1+4u}}{2\sqrt{u}} = \ln\bigl(1+\sqrt{1+4u}\bigr) - \ln2 - \tfrac12\ln u
e faz-se integração por partes no termo \ln\bigl(1+\sqrt{1+4u}\bigr). O resultado indefinido é
u\ln\!\frac{1+\sqrt{1+4u}}{2\sqrt{u}} +\frac{\sqrt{1+4u}}{4}.

Passo 7

Avalia-se entre u=1 e u=2. Para u=2 temos \sqrt{1+8}=3, dando
2\ln\!\frac{1+3}{2\sqrt2} + \frac{3}{4} = \ln2 + \frac{3}{4}.
Para u=1 temos \sqrt5, dando
\ln\!\frac{1+\sqrt5}{2} + \frac{\sqrt5}{4}.
Subtraindo, obtém-se
\text{Área} = \Bigl(\ln2 + \tfrac{3}{4}\Bigr) - \Bigl(\ln\!\tfrac{1+\sqrt5}{2} + \tfrac{\sqrt5}{4}\Bigr) = \ln(\sqrt5 - 1) + \frac{3-\sqrt5}{4}.Á

Resposta

\boxed{ \text{Área}(R) = \ln\bigl(\sqrt5 - 1\bigr) \;+\;\frac{3-\sqrt5}{4}. }Á

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