Calcule a área da região R delimitada pelas hipérboles H_{1}: x y=1 e H_{2}: x y=2, e as retas r_{1}: y=x e r_{2}: y=x+1, no primeiro quadrante.
Passo 1
O enunciado pede a área da região R no primeiro quadrante limitada pelas hipérboles
H_{1}: xy = 1,\quad H_{2}: xy = 2
e pelas retas
r_{1}: y = x,\quad r_{2}: y = x + 1.
O conteúdo usado será mudança de variáveis em integrais duplas. Vamos escolher variáveis que transformem as hipérboles e as retas em retângulo no plano das novas variáveis.
Passo 2
Definimos
u = xy,\quad v = y - x.
Nas fronteiras de R temos
xy = 1\implies u=1,\quad xy = 2\implies u=2,
y - x = 0\implies v=0,\quad y - x = 1\implies v=1.
Logo o domínio em (u,v) é o retângulo
1 \le u \le 2,\quad 0 \le v \le 1.
Passo 3
Para calcular o jacobiano, escrevemos
y = x + v,\quad u = x(x+v)=x^2 + vx.
Da equação x^2 + v x - u = 0 obtemos a solução positiva
x = \frac{-v + \sqrt{v^2 + 4u}}{2}, \quad y = x + v = \frac{v + \sqrt{v^2 + 4u}}{2}.