Escreva o operador Hamiltoniano para os seguintes sistemas:
Uma partícula de massa m se movendo ao longo de uma dimensão sem ação de forças.

Passo 1

O enunciado pede o operador Hamiltoniano para uma partícula livre de massa m em uma dimensão, ou seja, sem nenhuma força (potencial) atuando. Vamos usar o princípio da quantização canônica, partindo do Hamiltoniano clássico e substituindo o momento pela sua forma como operador.

Passo 2

O Hamiltoniano clássico de uma partícula em uma dimensão é
H = \frac{p^2}{2m} + V(x).
Como aqui não há forças, o potencial é zero:
V(x)=0,
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H = \frac{p^2}{2m}.

Passo 3

Na mecânica quântica, o momento canonical vira o operador
\hat p = -\,\mathrm{i}\,\hbar\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}.
Substituindo em H, obtemos o operador Hamiltoniano
\hat H = \frac{\hat p^{2}}{2m} = \frac{1}{2m}\biggl(-\,\mathrm{i}\,\hbar\,\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}\biggr)^{2} = -\,\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}x^{2}}.

Resposta

\hat H = -\,\frac{\hbar^{2}}{2m}\,\frac{\mathrm{d}^{2}}{\mathrm{d}x^{2}}.

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