Dada a reta y=\frac{\pi}{2} e a parábola cúbica y=x^{3}, no primeiro quadrante, calcule \\iint_{R} y^{2 / 3} \cos \left(y^{2 / 3} x\right) d y d x= \ ?

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} y^{2/3}\cos\bigl(y^{2/3}x\bigr)\,dy\,dx
sobre a região R no primeiro quadrante limitada por y=x^{3} (parábola cúbica) e y=\tfrac{\pi}{2} (reta horizontal). O conteúdo principal aqui é usar o Teorema de Fubini para escolher uma ordem de integração conveniente e fazer uma substituição para o cálculo do integral interno.

Passo 2

Descriminamos R de modo que fixamos y entre 0 e \tfrac{\pi}{2} e, para cada y, x varia de 0 até a curva inversa de y=x^{3}, isto é, x=y^{1/3}. Assim
\iint_{R} y^{2/3}\cos\bigl(y^{2/3}x\bigr)\,dy\,dx =\int_{y=0}^{\pi/2}\!\Bigl[\int_{x=0}^{y^{1/3}} y^{2/3}\cos\bigl(y^{2/3}x\bigr)\,dx\Bigr]dy.

Passo 3

Para o integral interno em x, empregamos a substituição
t = y^{2/3}x, \quad dt = y^{2/3}\,dx,
quando x=0 t=0 e quando x=y^{1/3} t=y^{2/3}\cdot y^{1/3}=y. Logo
\int_{0}^{y^{1/3}} y^{2/3}\cos\bigl(y^{2/3}x\bigr)\,dx =\int_{0}^{y}\cos(t)\,dt =\sin(t)\Big|_{0}^{y} =\sin(y).

Passo 4

Substituindo no integral em y, temos
\int_{0}^{\pi/2}\sin(y)\,dy =-\cos(y)\Big|_{0}^{\pi/2} =-\cos\bigl(\tfrac{\pi}{2}\bigr)+\cos(0) =0+1 =1.

Resposta

O valor da integral é 1.

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