Dada a reta y=\frac{\pi}{2} e a parábola cúbica y=x^{3}, no primeiro quadrante, calcule \\iint_{R} y^{2 / 3} \cos \left(y^{2 / 3} x\right) d y d x= \ ?
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral dupla
\iint_{R} y^{2/3}\cos\bigl(y^{2/3}x\bigr)\,dy\,dx
sobre a região R no primeiro quadrante limitada por y=x^{3} (parábola cúbica) e y=\tfrac{\pi}{2} (reta horizontal). O conteúdo principal aqui é usar o Teorema de Fubini para escolher uma ordem de integração conveniente e fazer uma substituição para o cálculo do integral interno.
Passo 2
Descriminamos R de modo que fixamos y entre 0 e \tfrac{\pi}{2} e, para cada y, x varia de 0 até a curva inversa de y=x^{3}, isto é, x=y^{1/3}. Assim