Mostre que \int \cos ^{6} x d x=\frac{1}{16}\left(5 x+4 \operatorname{sen} 2 x-\frac{\operatorname{sen}^{3} 2 x}{3}+\frac{3}{4} \operatorname{sen} 4 x\right)+c.

Passo 1

O que o enunciado pede: mostrar que
\int \cos^{6}x\,dx = \frac{1}{16}\Bigl(5x + 4\operatorname{sen}2x - \frac{\operatorname{sen}^{3}2x}{3} + \frac{3}{4}\operatorname{sen}4x\Bigr) + C.
Informações dadas e relevantes: a função a integrar é \cos^{6}x, ou seja, uma potência par de cosseno. Para integrar potências de cosseno (ou seno) costuma-se usar identidades de redução de potência que expressam potências em funções de ângulos múltiplos, permitindo integrar termo a termo.

Passo 2

Redução de potência inicial. Usamos a identidade de dupla angulação
\cos^{2}x = \frac{1+\cos 2x}{2}.
Explicação rápida: \cos 2x = \cos^{2}x - \sin^{2}x = 2\cos^{2}x -1, daí \cos^{2}x=(1+\cos 2x)/2. Como \cos^{6}x=(\cos^{2}x)^{3}, substituímos:
\cos^{6}x = \left(\frac{1+\cos 2x}{2}\right)^{3} = \frac{1}{8}\,(1+ \cos 2x)^{3}.

Passo 3

Expandir o binômio (1+\cos 2x)^{3} usando o teorema do binômio:
(1+\cos 2x)^{3} = 1 + 3\cos 2x + 3\cos^{2}2x + \cos^{3}2x.
Portanto
\cos^{6}x = \frac{1}{8}\Bigl(1 + 3\cos 2x + 3\cos^{2}2x + \cos^{3}2x\Bigr).

Passo 4

Reduzir ainda \cos^{2}2x e \cos^{3}2x em funções de ângulos múltiplos. Primeiro,
\cos^{2}2x = \frac{1+\cos 4x}{2}.
Para \cos^{3}2x usamos a identidade de tripla angulação para o cosseno: \cos 3\theta = 4\cos^{3}\theta - 3\cos\theta, que dá
\cos^{3}\theta = \frac{1}{4}\bigl(3\cos\theta + \cos 3\theta\bigr).
Aplicando com \theta=2x,
\cos^{3}2x = \frac{1}{4}\bigl(3\cos 2x + \cos 6x\bigr).

Passo 5

Substituímos essas expressões em \cos^{6}x e simplificamos passo a passo:
\cos^{6}x = \frac{1}{8}\Bigl(1 + 3\cos 2x + 3\cdot\frac{1+\cos 4x}{2} + \frac{1}{4}\bigl(3\cos 2x + \cos 6x\bigr)\Bigr).
Calculemos os coeficientes:
\begin{aligned} &3\cdot\frac{1+\cos 4x}{2}=\frac{3}{2}+\frac{3}{2}\cos 4x,\\[4pt] &\frac{1}{4}\bigl(3\cos 2x + \cos 6x\bigr)=\frac{3}{4}\cos 2x + \frac{1}{4}\cos 6x. \end{aligned}
Somando tudo dentro do parêntese:
1+\frac{3}{2} = \frac{5}{2},\qquad 3\cos 2x + \frac{3}{4}\cos 2x = \frac{15}{4}\cos 2x.
Logo
\cos^{6}x = \frac{1}{8}\Bigl(\frac{5}{2} + \frac{15}{4}\cos 2x + \frac{3}{2}\cos 4x + \frac{1}{4}\cos 6x\Bigr).
Distribuindo 1/8:
\cos^{6}x = \frac{5}{16} + \frac{15}{32}\cos 2x + \frac{3}{16}\cos 4x + \frac{1}{32}\cos 6x.]

Passo 6

Agora integramos termo a termo. Usamos a regra básica \displaystyle \int \cos(kx)\,dx = \frac{1}{k}\operatorname{sen}(kx)+C. Assim,
\begin{aligned} \int \cos^{6}x\,dx &= \int\left(\frac{5}{16} + \frac{15}{32}\cos 2x + \frac{3}{16}\cos 4x + \frac{1}{32}\cos 6x\right)\,dx\\[4pt] &= \frac{5}{16}x + \frac{15}{32}\cdot\frac{1}{2}\operatorname{sen}2x + \frac{3}{16}\cdot\frac{1}{4}\operatorname{sen}4x + \frac{1}{32}\cdot\frac{1}{6}\operatorname{sen}6x + C\\[6pt] &= \frac{5}{16}x + \frac{15}{64}\operatorname{sen}2x + \frac{3}{64}\operatorname{sen}4x + \frac{1}{192}\operatorname{sen}6x + C. \end{aligned}]

Passo 7

A fim de obter exatamente a forma pedida, transformamos o termo \operatorname{sen}6x em função de \operatorname{sen}2x. Usamos a identidade de tripla angulação para seno:
\operatorname{sen}3\theta = 3\operatorname{sen}\theta - 4\operatorname{sen}^{3}\theta.
Tomando \theta=2x obtemos
\operatorname{sen}6x = 3\operatorname{sen}2x - 4\operatorname{sen}^{3}2x.
Substituindo em \dfrac{1}{192}\operatorname{sen}6x
\frac{1}{192}\operatorname{sen}6x = \frac{1}{192}\bigl(3\operatorname{sen}2x - 4\operatorname{sen}^{3}2x\bigr) = \frac{1}{64}\operatorname{sen}2x - \frac{1}{48}\operatorname{sen}^{3}2x.

Passo 8

Somamos esse resultado aos termos com \operatorname{sen}2x e \operatorname{sen}^{3}2x:
\frac{15}{64}\operatorname{sen}2x + \frac{1}{64}\operatorname{sen}2x = \frac{16}{64}\operatorname{sen}2x = \frac{1}{4}\operatorname{sen}2x,
e aparece o termo -\dfrac{1}{48}\operatorname{sen}^{3}2x. Reescrevendo tudo e colocando fator comum 1/16:
\begin{aligned} \int \cos^{6}x\,dx &= \frac{5}{16}x + \frac{1}{4}\operatorname{sen}2x + \frac{3}{64}\operatorname{sen}4x - \frac{1}{48}\operatorname{sen}^{3}2x + C\\[4pt] &= \frac{1}{16}\Bigl(5x + 4\operatorname{sen}2x - \frac{\operatorname{sen}^{3}2x}{3} + \frac{3}{4}\operatorname{sen}4x\Bigr) + C, \end{aligned}
pois \dfrac{3}{64}=\dfrac{1}{16}\cdot\dfrac{3}{4} e -\dfrac{1}{48}=\dfrac{1}{16}\cdot\left(-\dfrac{1}{3}\right).]

Resposta

\displaystyle \frac{1}{16}\Bigl(5x + 4\operatorname{sen}2x - \frac{\operatorname{sen}^{3}2x}{3} + \frac{3}{4}\operatorname{sen}4x\Bigr) + C

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