Mostre que
.
Passo 1
O que o enunciado pede: mostrar que
Informações dadas e relevantes: a função a integrar é
, ou seja, uma potência par de cosseno. Para integrar potências de cosseno (ou seno) costuma-se usar identidades de redução de potência que expressam potências em funções de ângulos múltiplos, permitindo integrar termo a termo.
Passo 2
Redução de potência inicial. Usamos a identidade de dupla angulação
Explicação rápida:
, daí
. Como
, substituímos:
Passo 3
Expandir o binômio
usando o teorema do binômio:
Portanto
Passo 4
Reduzir ainda
e
em funções de ângulos múltiplos. Primeiro,
Para
usamos a identidade de tripla angulação para o cosseno:
, que dá
Aplicando com
,
Passo 5
Substituímos essas expressões em
e simplificamos passo a passo:
Calculemos os coeficientes:
Somando tudo dentro do parêntese:
Logo
Distribuindo
:
Passo 6
Agora integramos termo a termo. Usamos a regra básica
. Assim,
Passo 7
A fim de obter exatamente a forma pedida, transformamos o termo
em função de
. Usamos a identidade de tripla angulação para seno:
Tomando
obtemos
Substituindo em
dá
Passo 8
Somamos esse resultado aos termos com
e
:
e aparece o termo
. Reescrevendo tudo e colocando fator comum
:
pois
e
.]