calcule a área da região
descrita.
é a região limitada pela curva de equação
, pelo eixo
e pelas retas
e
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região
limitada pela parábola
pelo eixo
e pelas retas verticais
e
.
Para resolver, usamos o conceito de área entre curva e eixo:
Para resolver, usamos o conceito de área entre curva e eixo:
Primeiro identificamos onde
muda de sinal para tratar corretamente o valor absoluto.
Passo 2
Determinar as interseções da parábola com o eixo
pela equação
que factoriza em
portanto as raízes são
e
.
Isso divide o intervalo em três subintervalos:
,
e
.
Isso divide o intervalo
Passo 3
Analisar o sinal de
em cada subintervalo:
- Em
, por exemplo , temos , então a curva está acima do eixo .
A área nesta porção é
Calculemos:
logo
Passo 4
Em
, por exemplo
, temos
, a curva está abaixo do eixo
.
Usamos o valor absoluto e integramos :
Usamos o valor absoluto e integramos
Passo 5
Em
, por exemplo
, temos
, a curva está acima do eixo
.
A área é
A área é
Passo 6
Somando as três áreas obtidas:
Resposta
A área da região
é