calcule a área da região R descrita.
R é a região limitada pela curva de equação y=x^{2}-2 x, pelo eixo x e pelas retas x=-2 e x=4.

Passo 1

O enunciado pede a área da região R limitada pela parábola
y = x^2 - 2x,
pelo eixo x e pelas retas verticais x=-2 e x=4.
Para resolver, usamos o conceito de área entre curva e eixo:
\text{área} = \int_{a}^{b} \bigl|f(x)\bigr|\,dx.á
Primeiro identificamos onde y muda de sinal para tratar corretamente o valor absoluto.

Passo 2

Determinar as interseções da parábola com o eixo x pela equação
x^2 - 2x = 0
que factoriza em
x(x-2)=0
portanto as raízes são x=0 e x=2.
Isso divide o intervalo [-2,4] em três subintervalos: [-2,0], [0,2] e [2,4].

Passo 3

Analisar o sinal de y em cada subintervalo:
  • Em [-2,0], por exemplo x=-2, temos y=8>0, então a curva está acima do eixo x.
    A área nesta porção é
\int_{-2}^{0} (x^2 - 2x)\,dx.
Calculemos:
\int (x^2 - 2x)\,dx = \frac{x^3}{3} - x^2,
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\int_{-2}^{0} (x^2 - 2x)\,dx = \Bigl[\frac{x^3}{3} - x^2\Bigr]_{-2}^{0} = \bigl(0-0\bigr) - \Bigl(-\frac{8}{3} - 4\Bigr) = \frac{20}{3}.

Passo 4

Em [0,2], por exemplo x=1, temos y=1-2=-1<0, a curva está abaixo do eixo x.
Usamos o valor absoluto e integramos -(x^2-2x)=2x-x^2:
\int_{0}^{2} (2x - x^2)\,dx = \Bigl[x^2 - \frac{x^3}{3}\Bigr]_{0}^{2} = \Bigl(4 - \frac{8}{3}\Bigr) - 0 = \frac{4}{3}.

Passo 5

Em [2,4], por exemplo x=4, temos y=16-8=8>0, a curva está acima do eixo x.
A área é
\int_{2}^{4} (x^2 - 2x)\,dx = \Bigl[\frac{x^3}{3} - x^2\Bigr]_{2}^{4} = \Bigl(\frac{64}{3} - 16\Bigr) - \Bigl(\frac{8}{3} - 4\Bigr) = \frac{20}{3}.

Passo 6

Somando as três áreas obtidas:
\frac{20}{3} + \frac{4}{3} + \frac{20}{3} = \frac{44}{3}.

Resposta

A área da região R é
\frac{44}{3}.

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