derive a função dada.
F(x)=\int_{0}^{\sqrt{x}} e^{t^{2}+1} d t

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
F(x)=\int_{0}^{\sqrt{x}}e^{t^{2}+1}\,dt.
O conteúdo é o Teorema Fundamental do Cálculo para derivadas de integrais com limite superior dependente de x, combinado com a regra da cadeia.

Passo 2

Definimos a função interna
u(x)=\sqrt{x}
cujo derivado, pela regra de potência, é
u'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}}.

Passo 3

Pelo Teorema Fundamental do Cálculo, se
F(x)=\int_{0}^{u(x)}f(t)\,dt,
então
F'(x)=f\bigl(u(x)\bigr)\,u'(x).
Aqui f(t)=\mathrm{e}^{t^{2}+1}, logo
F'(x)=\mathrm{e}^{\bigl(\sqrt{x}\bigr)^{2}+1}\,\frac{1}{2\sqrt{x}} =\frac{\mathrm{e}^{x+1}}{2\sqrt{x}}.

Resposta

F'(x)=\frac{\mathrm{e}^{x+1}}{2\sqrt{x}}.

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