Calcule as integrais:
\int \frac{d x}{\sqrt{\left(x^{2}+8 x+20\right)^{\frac{5}{2}}}}

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
\int \frac{dx}{\bigl(x^{2}+8x+20\bigr)^{\frac{5}{2}}}.
O conteúdo aqui é integrar uma potência de uma expressão quadrática irreduzível. Vamos completar o quadrado para reduzir a um termo u^{2}+a^{2} e usar substituição trigonométrica.

Passo 2

Complete o quadrado em x^{2}+8x+20. Escrevemos
x^{2}+8x+20=(x+4)^{2}+4.
Faça a troca de variável
u = x+4,\quad du = dx,
ficando
\int \frac{dx}{(x^{2}+8x+20)^{\frac{5}{2}}} =\int \frac{du}{\bigl(u^{2}+4\bigr)^{\frac{5}{2}}}.

Passo 3

Use a substituição trigonométrica
u = 2\tan\theta, \quad du = 2\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta.
Então
u^{2}+4=4\tan^{2}\theta+4=4\operatorname{sec}^{2}\theta
e a integral vira
\int \frac{2\operatorname{sec}^{2}\theta\,d\theta}{\bigl(4\operatorname{sec}^{2}\theta\bigr)^{\frac{5}{2}}} =\int \frac{2\operatorname{sec}^{2}\theta}{4^{\frac{5}{2}}\operatorname{sec}^{5}\theta}\,d\theta =\frac{2}{32}\int \cos^{3}\theta\,d\theta =\frac{1}{16}\int \cos^{3}\theta\,d\theta.

Passo 4

Para \displaystyle \int\cos^{3}\theta\,d\theta escreva \cos^{3}\theta=(1-\sin^{2}\theta)\cos\theta e use y=\sin\theta:
\int \cos^{3}\theta\,d\theta =\int (1-y^{2})\,dy =y-\frac{y^{3}}{3}+C =\sin\theta-\frac{\sin^{3}\theta}{3}+C.
Logo a integral original é
\frac{1}{16}\Bigl(\sin\theta-\frac{\sin^{3}\theta}{3}\Bigr)+C.

Passo 5

Volte às variáveis originais. De u=2\tan\theta temos
\sin\theta=\frac{u}{\sqrt{u^{2}+4}} =\frac{x+4}{\sqrt{(x+4)^{2}+4}} =\frac{x+4}{\sqrt{x^{2}+8x+20}}.
Então
\sin^{3}\theta=\frac{(x+4)^{3}}{\bigl(x^{2}+8x+20\bigr)^{\frac{3}{2}}}.
Substituindo em \tfrac{1}{16}\bigl(\sin\theta-\tfrac{\sin^{3}\theta}{3}\bigr) e colocando sobre denominador comum 48\,(x^{2}+8x+20)^{\frac{3}{2}}, obtém-se após simplificação
\frac{(x+4)\bigl((x+4)^{2}+6\bigr)}{24\,(x^{2}+8x+20)^{\frac{3}{2}}}+C =\frac{(x+4)(x^{2}+8x+22)}{24\,(x^{2}+8x+20)^{\frac{3}{2}}}+C.

Resposta

\boxed{\int \frac{dx}{\bigl(x^{2}+8x+20\bigr)^{\frac{5}{2}}} =\frac{(x+4)\,(x^{2}+8x+22)}{24\,(x^{2}+8x+20)^{\frac{3}{2}}}+C.}

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