Calcule as integrais:
\int x \cdot \ln (3 x+2) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int x \,\ln(3x+2)\,dx.
O conteúdo principal aqui é integração por partes, que exige escolher u e dv, e depois simplificar o integral restante possivelmente via divisão de polinômios.

Passo 2

Escolhemos
u = \ln(3x+2), \quad dv = x\,dx.
Então
du = \frac{3}{3x+2}\,dx, \quad v = \int x\,dx = \frac{x^2}{2}.

Passo 3

Aplicando a fórmula \displaystyle \int u\,dv = u\,v - \int v\,du, temos
\int x\,\ln(3x+2)\,dx = \frac{x^2}{2}\,\ln(3x+2) - \int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{3}{3x+2}\,dx.
Isto é,
\int x\,\ln(3x+2)\,dx = \frac{x^2}{2}\ln(3x+2) - \int \frac{3x^2}{2(3x+2)}\,dx.

Passo 4

Para integrar \displaystyle \int \frac{3x^2}{2(3x+2)}\,dx, fazemos divisão de polinômios:
\frac{3x^2}{3x+2} = x - \frac{2}{3} + \frac{\tfrac{4}{3}}{3x+2}.
Multiplicando por \tfrac12,
\frac{3x^2}{2(3x+2)} = \frac{x}{2} - \frac{1}{3} + \frac{\tfrac{2}{3}}{3x+2}.

Passo 5

Agora integramos termo a termo:
\int \frac{x}{2}\,dx = \frac{x^2}{4}, \quad \int \Bigl(-\frac{1}{3}\Bigr)dx = -\frac{x}{3}, \quad \int \frac{\tfrac{2}{3}}{3x+2}\,dx = \frac{2}{3}\cdot\frac{1}{3}\ln(3x+2) = \frac{2}{9}\ln(3x+2).
Portanto,
\int \frac{3x^2}{2(3x+2)}\,dx = \frac{x^2}{4} - \frac{x}{3} + \frac{2}{9}\ln(3x+2).

Passo 6

Substituindo de volta em \displaystyle \int x\,\ln(3x+2)\,dx:
\int x\,\ln(3x+2)\,dx = \frac{x^2}{2}\ln(3x+2) - \Bigl(\frac{x^2}{4} - \frac{x}{3} + \frac{2}{9}\ln(3x+2)\Bigr) + C.
Podemos reorganizar:
\int x\,\ln(3x+2)\,dx = \frac{x^2}{2}\ln(3x+2) - \frac{x^2}{4} + \frac{x}{3} - \frac{2}{9}\ln(3x+2) + C.

Resposta

\boxed{ \int x\,\ln(3x+2)\,dx = \frac{x^2}{2}\ln(3x+2) - \frac{x^2}{4} + \frac{x}{3} - \frac{2}{9}\ln(3x+2) + C }.

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