Fazendo uma mudança para coordenadas polares, calcule a seguinte integral:
I=integral-1^0 integral-raiz1-x^2^0 21+raizx^2+y^2 d y d x

Passo 1

A integral dada é uma integral dupla sobre a região R definida por x variando de –1 a 0 e y de –√(1–x²) a 0. O conteúdo envolvido é troca de coordenadas cartesianas (x,y) para polares (r,θ) e uso do jacobiano para simplificar a integração.

Passo 2

A região R no plano xy é o setor circular de raio 1 no terceiro quadrante limitado pelo eixo x (y=0) e pela semicircunferência x²+y²=1. Ou seja, é um quarto de círculo de raio 1 onde x<0 e y<0.

Passo 3

Para aproveitar a simetria circular, fazemos a mudança para coordenadas polares: x = r
cos
θ, y = r
sin
θ. Nessa transformação, o elemento de área dx
dy vira r
dr
dθ e a distância ao ponto (x,y) se torna r, pois √(x²+y²)=r.

Passo 4

Analisando x<0 e y<0 vemos que θ percorre de π a 3π/2 e o raio r vai de 0 até 1. Assim, os limites são:
θ∈[π,3π/2], r∈[0,1].

Passo 5

Reescrevendo a integral em polares obtemos:
I = integralθ=π^3π/2 integralr=0^1 21+r ;r,dr,dθ
Podemos separar a parte angular e a radial, pois não há θ na função integranda: o integral em θ simplesmente dá o comprimento do intervalo, que é 3π/2–π=π/2. Então
I = π2 ;2 integral0^1 r1+r ,dr = π integral0^1 r1+r ,dr

Passo 6

Para resolver integral0^1 r1+r ,dr usamos divisão algébrica ou escrevemos r/(1+r)=1–1/(1+r). Assim
integral0^1 r1+r ,dr = integral0^1 l(1 - 11+rr) dr = l[r - ln(1+r)r]0^1 = 1 - ln 2

Passo 7

Substituindo de volta, chega-se a
I = π(1 - ln 2)
e finalmente encontramos o valor da integral I:

Resposta

I = pi,(1 - ln 2).

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