Fazendo uma mudança para coordenadas polares, calcule a seguinte integral:
Passo 1
A integral dada é uma integral dupla sobre a região R definida por x variando de –1 a 0 e y de –√(1–x²) a 0. O conteúdo envolvido é troca de coordenadas cartesianas (x,y) para polares (r,θ) e uso do jacobiano para simplificar a integração.
Passo 2
A região R no plano xy é o setor circular de raio 1 no terceiro quadrante limitado pelo eixo x (y=0) e pela semicircunferência x²+y²=1. Ou seja, é um quarto de círculo de raio 1 onde x<0 e y<0.
Passo 3
Para aproveitar a simetria circular, fazemos a mudança para coordenadas polares: x = r
cos
θ, y = r
sin
θ. Nessa transformação, o elemento de área dx
dy vira r
dr
dθ e a distância ao ponto (x,y) se torna r, pois √(x²+y²)=r.
cos
θ, y = r
sin
θ. Nessa transformação, o elemento de área dx
dy vira r
dr
dθ e a distância ao ponto (x,y) se torna r, pois √(x²+y²)=r.
Passo 4
Analisando x<0 e y<0 vemos que θ percorre de π a 3π/2 e o raio r vai de 0 até 1. Assim, os limites são:
θ∈[π,3π/2], r∈[0,1].
θ∈[π,3π/2], r∈[0,1].
Passo 5
Reescrevendo a integral em polares obtemos:
Podemos separar a parte angular e a radial, pois não há θ na função integranda: o integral em θ simplesmente dá o comprimento do intervalo, que é 3π/2–π=π/2. Então
Passo 6
Para resolver
usamos divisão algébrica ou escrevemos r/(1+r)=1–1/(1+r). Assim
Passo 7
Substituindo de volta, chega-se a
e finalmente encontramos o valor da integral I: