Questão
: Onde a reta normal à parábola
no ponto (
intercepta o paraboloide uma segunda vez?
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa descobrir onde a reta normal à parábola $ z = x^{2} + y^{2} $ no ponto $ (1,1,2) $ intercepta o paraboloide novamente. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores normais, equações paramétricas de retas e resolução de sistemas de equações. Vamos passo a passo!
Passo 2
Primeiro, precisamos encontrar o vetor normal à superfície no ponto dado. Para isso, vamos calcular o gradiente da função que define o paraboloide. A função é $ z = x^{2} + y^{2} $, que podemos reescrever como $ F(x, y, z) = x^{2} + y^{2} - z = 0 $.
O gradiente de $ F $ é dado por:
No ponto $ (1,1,2) $, o gradiente é:
Então, o vetor normal à superfície no ponto dado é $ \vec{n} = (2, 2, -1) $.
Passo 3
Agora, vamos escrever a equação paramétrica da reta normal. Sabemos que a reta passa pelo ponto $ (1,1,2) $ e tem direção do vetor normal $ \vec{n} = (2, 2, -1) $. A equação paramétrica da reta é:
onde $ t $ é o parâmetro.
Passo 4
Precisamos encontrar onde essa reta intercepta novamente o paraboloide $ z = x^{2} + y^{2} $. Para isso, substituímos as expressões paramétricas na equação do paraboloide:
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de $ t $.
Passo 5
Primeiro, simplificamos o lado direito:
Agora, igualamos ao lado esquerdo:
Leva tudo para um lado da equação:
Fatorando:
Então, as soluções são $ t = 0 $ e $ t = -\frac{9}{8} $.
Passo 6
O valor $ t = 0 $ corresponde ao ponto inicial $ (1,1,2) $. Queremos o outro ponto de interseção, então usamos $ t = -\frac{9}{8} $.
Substituindo na equação paramétrica:
Resposta
A reta normal intercepta o paraboloide novamente no ponto $ \left(-\frac{5}{4}, -\frac{5}{4}, \frac{25}{8}\right) $.