Questão 3 -(2,0) : Onde a reta normal à parábola z=x^2+y^2 no ponto ( 1,1,2) intercepta o paraboloide uma segunda vez?

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente precisa descobrir onde a reta normal à parábola $ z = x^{2} + y^{2} $ no ponto $ (1,1,2) $ intercepta o paraboloide novamente. Para isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores normais, equações paramétricas de retas e resolução de sistemas de equações. Vamos passo a passo!

Passo 2

Primeiro, precisamos encontrar o vetor normal à superfície no ponto dado. Para isso, vamos calcular o gradiente da função que define o paraboloide. A função é $ z = x^{2} + y^{2} $, que podemos reescrever como $ F(x, y, z) = x^{2} + y^{2} - z = 0 $.
O gradiente de $ F $ é dado por:
z = x^2 + y^2
No ponto $ (1,1,2) $, o gradiente é:
F(x, y, z) = x^2 + y^2 - z = 0
Então, o vetor normal à superfície no ponto dado é $ \vec{n} = (2, 2, -1) $.

Passo 3

Agora, vamos escrever a equação paramétrica da reta normal. Sabemos que a reta passa pelo ponto $ (1,1,2) $ e tem direção do vetor normal $ \vec{n} = (2, 2, -1) $. A equação paramétrica da reta é:
(1,1,2)
onde $ t $ é o parâmetro.

Passo 4

Precisamos encontrar onde essa reta intercepta novamente o paraboloide $ z = x^{2} + y^{2} $. Para isso, substituímos as expressões paramétricas na equação do paraboloide:
z = x^2 + y^2
Vamos resolver essa equação para encontrar os valores de $ t $.

Passo 5

Primeiro, simplificamos o lado direito:
(1 + 2t)^2 + (1 + 2t)^2 = 2(1 + 4t + 4t^2) = 2 + 8t + 8t^2
Agora, igualamos ao lado esquerdo:
2 - t = 2 + 8t + 8t^2
Leva tudo para um lado da equação:
8t^2 + 9t = 0
Fatorando:
t(8t + 9) = 0
Então, as soluções são $ t = 0 $ e $ t = -\frac{9}{8} $.

Passo 6

O valor $ t = 0 $ corresponde ao ponto inicial $ (1,1,2) $. Queremos o outro ponto de interseção, então usamos $ t = -\frac{9}{8} $.
Substituindo na equação paramétrica:
t = 0

Resposta

A reta normal intercepta o paraboloide novamente no ponto $ \left(-\frac{5}{4}, -\frac{5}{4}, \frac{25}{8}\right) $.

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