Calcule a área da região
.
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a área da região
no plano, que é definida pelas condições
,
e
. Para resolver isso, vamos usar o cálculo de integrais, que nos ajuda a encontrar áreas entre curvas. Vamos precisar identificar os limites de integração e a função que representa a diferença entre as duas curvas que delimitam a região.
Passo 2
Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se encontram, ou seja, onde
. Isso vai nos dar os pontos que definem os limites de integração.
Resolvendo
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Fatorando
:
Assim, temos duas soluções:
Isso resulta em:
Então, os limites de integração serão de
até
.
Passo 3
Agora, vamos montar a integral que representa a área da região
. A área entre duas curvas é dada pela integral da diferença entre a função de cima e a função de baixo no intervalo de integração.
Aqui, a função de cima é
e a função de baixo é
. Então, a integral fica assim:
Passo 4
Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, vamos integrar cada termo separadamente.
- Integrando
:
- Integrando
:
Passo 5
Agora, vamos avaliar a integral definida de 0 a 1:
Substituindo os limites de integração:
Para
:
Para
:
Então, a área total é:
Resposta
A área da região
é
unidades de área.