Calcule a área da região R = {(x, y) ∈ R² | x ≥ 0, x^4 ≤ y ≤ raiz(x)}.

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. A gente precisa calcular a área da região no plano, que é definida pelas condições , e . Para resolver isso, vamos usar o cálculo de integrais, que nos ajuda a encontrar áreas entre curvas. Vamos precisar identificar os limites de integração e a função que representa a diferença entre as duas curvas que delimitam a região.

Passo 2

Primeiro, vamos descobrir onde as duas curvas se encontram, ou seja, onde . Isso vai nos dar os pontos que definem os limites de integração.
Resolvendo :
Subtraindo de ambos os lados:
Fatorando :
Assim, temos duas soluções:
Isso resulta em:
Então, os limites de integração serão de até .

Passo 3

Agora, vamos montar a integral que representa a área da região . A área entre duas curvas é dada pela integral da diferença entre a função de cima e a função de baixo no intervalo de integração.
Aqui, a função de cima é e a função de baixo é . Então, a integral fica assim:
Á

Passo 4

Vamos calcular essa integral passo a passo. Primeiro, vamos integrar cada termo separadamente.
  1. Integrando :
  1. Integrando :

Passo 5

Agora, vamos avaliar a integral definida de 0 a 1:
Á
Substituindo os limites de integração:
Para :
Para :
Então, a área total é:

Resposta

A área da região é unidades de área.

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