Usando transformada de Laplace, resolva os seguintes problemas de valor inicial (P.V.I.)
c) y'' - 3y' + 2y = 4e^(2x), y(0) = -3, y'(0) = 5 (Resp. $y=-7 e^{x}+4 e^{2 x}+ $

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando a transformada de Laplace. A gente tem a equação com as condições iniciais e . Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a transformada de Laplace em equações diferenciais e usar as propriedades dela para encontrar a solução de .

Passo 2

Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em todos os termos da equação diferencial. Lembrando que a transformada de Laplace de é , a de é , e a de é apenas . A transformada de é .

Passo 3

Aplicando as transformadas, temos:
Simplificando os termos:

Passo 4

Vamos juntar os termos que contêm :
Simplificando os termos constantes:

Passo 5

Isolando :
Agora, vamos dividir ambos os lados por :

Passo 6

Vamos fatorar o denominador :
Então, substituindo de volta:

Passo 7

Agora, vamos decompor em frações parciais para facilitar a inversão da transformada. Primeiramente, para o primeiro termo:
Resolvendo para , , e , encontramos , , e .
Para o segundo termo:
Resolvendo, encontramos e .

Passo 8

Substituindo os valores encontrados:
Simplificando:

Passo 9

Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace a cada termo:

Resposta

Portanto, a solução da equação diferencial é:

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