Usando transformada de Laplace, resolva os seguintes problemas de valor inicial (P.V.I.)
c)
(Resp. $y=-7 e^{x}+4 e^{2 x}+ $
c)
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse problema de equação diferencial usando a transformada de Laplace. A gente tem a equação
com as condições iniciais
e
. Para resolver isso, vamos precisar entender como aplicar a transformada de Laplace em equações diferenciais e usar as propriedades dela para encontrar a solução de
.
Passo 2
Primeiro, vamos aplicar a transformada de Laplace em todos os termos da equação diferencial. Lembrando que a transformada de Laplace de
é
, a de
é
, e a de
é apenas
. A transformada de
é
.
Passo 3
Aplicando as transformadas, temos:
Simplificando os termos:
Passo 4
Vamos juntar os termos que contêm
:
Simplificando os termos constantes:
Passo 5
Isolando
:
Agora, vamos dividir ambos os lados por
:
Passo 6
Vamos fatorar o denominador
:
Então, substituindo de volta:
Passo 7
Agora, vamos decompor em frações parciais para facilitar a inversão da transformada. Primeiramente, para o primeiro termo:
Resolvendo para
,
, e
, encontramos
,
, e
.
Para o segundo termo:
Resolvendo, encontramos
e
.
Passo 8
Substituindo os valores encontrados:
Simplificando:
Passo 9
Agora, aplicamos a transformada inversa de Laplace a cada termo:
Resposta
Portanto, a solução da equação diferencial é: