Seja f(x, y)=lll1 x y3 x^2+3 x y+4 y^2 & se & (x, y) neq(0,0) 0 & se & (x, y)=(0,0) (0 , 5) Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função f dada.

Passo 1

Então, temos uma função f(x, y) = xy3x^2 + 3xy + 4y^2 & se (x, y) neq (0,0) 0 & se (x, y) = (0,0) definida de duas maneiras:
Queremos calcular as derivadas parciais de primeira ordem dessa função no ponto . Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente as derivadas parciais que medem a taxa de variação da função em relação a uma das variáveis, mantendo a outra constante.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual expressão da função usar no ponto f(x, y) = xy3x^2 + 3xy + 4y^2 . Como , utilizamos:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais e nesse ponto.

Passo 3

Vamos começar calculando partial fpartial x = v cdot partial upartial x - u cdot partial vpartial xv^2 . Para isso, usamos a regra do quociente. Se temos uma função partial upartial x = y , então:
partial vpartial x = 6x + 3y
Aqui, partial fpartial x = (3x^2 + 3xy + 4y^2) cdot y - xy cdot (6x + 3y)(3x^2 + 3xy + 4y^2)^2 e . Vamos calcular as derivadas necessárias:
Substituindo na fórmula:

Passo 4

Agora, vamos simplificar essa expressão e avaliar em partial fpartial x = (0 + 0 + 4(25)) cdot 5 - 0 cdot (0 + 15)(0 + 0 + 100)^2 = 100 cdot 5 - 010000 = 50010000 = 0,05 .
Primeiro, substituímos e :

Passo 5

Agora, vamos calcular partial fpartial y = v cdot partial upartial y - u cdot partial vpartial yv^2 . Novamente, usamos a regra do quociente:
partial upartial y = x
Onde:
partial vpartial y = 3x + 8y
partial fpartial y = (3x^2 + 3xy + 4y^2) cdot x - xy cdot (3x + 8y)(3x^2 + 3xy + 4y^2)^2
Substituindo:

Passo 6

Simplificando e avaliando em partial fpartial y = (0 + 0 + 100) cdot 0 - 0 cdot (0 + 40)10000 = 0 - 010000 = 0 :

Resposta

As derivadas parciais de primeira ordem da função partial fpartial x(0, 5) = 0,05 e partial fpartial y(0, 5) = 0 no ponto são:

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