Seja
Calcule as derivadas parciais de primeira ordem da função
dada.
Passo 1
Então, temos uma função
definida de duas maneiras:
Queremos calcular as derivadas parciais de primeira ordem dessa função no ponto
. Para isso, vamos usar conceitos de cálculo diferencial, especificamente as derivadas parciais que medem a taxa de variação da função em relação a uma das variáveis, mantendo a outra constante.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar qual expressão da função usar no ponto
. Como
, utilizamos:
Agora, vamos calcular as derivadas parciais
e
nesse ponto.
Passo 3
Vamos começar calculando
. Para isso, usamos a regra do quociente. Se temos uma função
, então:
Aqui,
e
. Vamos calcular as derivadas necessárias:
Substituindo na fórmula:
Passo 4
Agora, vamos simplificar essa expressão e avaliar em
.
Primeiro, substituímos
e
:
Passo 5
Agora, vamos calcular
. Novamente, usamos a regra do quociente:
Onde:
Substituindo:
Passo 6
Simplificando e avaliando em
:
Resposta
As derivadas parciais de primeira ordem da função
no ponto
são: