Usando transformada de Laplace, resolva os seguintes problemas de valor inicial (P.V.I.)
b) y'' + y = x, y(0) = 1, y'(0) = -2 (Resp. y = x + cos(x) - 3 * sen(x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A gente tem uma equação do tipo com as condições iniciais e . Vamos precisar conhecer as propriedades da Transformada de Laplace, especialmente como ela lida com derivadas.

Passo 2

Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em toda a equação. Lembre-se que:
e
onde é a Transformada de Laplace de .

Passo 3

Aplicando a Transformada de Laplace na equação , ficamos com:
Simplificando:
porque .

Passo 4

Agora, juntamos os termos com :
Para isolar , dividimos ambos os lados por :

Passo 5

Vamos simplificar cada termo separadamente. O primeiro termo é:
E o segundo termo já está separado:

Passo 6

Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada parte:
Para o segundo termo, usamos frações parciais:
Então:

Passo 7

Juntando tudo, temos:
Simplificando os termos de seno:

Resposta

A solução da equação diferencial é .

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