Usando transformada de Laplace, resolva os seguintes problemas de valor inicial (P.V.I.)
b)
(Resp.
b)
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação diferencial usando a Transformada de Laplace. A gente tem uma equação do tipo
com as condições iniciais
e
. Vamos precisar conhecer as propriedades da Transformada de Laplace, especialmente como ela lida com derivadas.
Passo 2
Primeiro, aplicamos a Transformada de Laplace em toda a equação. Lembre-se que:
e
onde
é a Transformada de Laplace de
.
Passo 3
Aplicando a Transformada de Laplace na equação
, ficamos com:
Simplificando:
porque
.
Passo 4
Agora, juntamos os termos com
:
Para isolar
, dividimos ambos os lados por
:
Passo 5
Vamos simplificar cada termo separadamente. O primeiro termo é:
E o segundo termo já está separado:
Passo 6
Agora, aplicamos a Transformada Inversa de Laplace em cada parte:
Para o segundo termo, usamos frações parciais:
Então:
Passo 7
Juntando tudo, temos:
Simplificando os termos de seno:
Resposta
A solução da equação diferencial é
.