Seja
A função
é contínua em
?
Passo 1
Beleza, vamos lá! O problema que a gente tem aqui é sobre a continuidade de uma função de duas variáveis no ponto
. A função dada é:
Nosso objetivo é descobrir se essa função é contínua em
. Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como calcular limites de funções de duas variáveis.
Passo 2
Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Em termos simples, uma função
é contínua no ponto
se o limite de
quando
se aproxima de
for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, queremos ver se:
Sabemos que
, então precisamos verificar se o limite também é 0.
Passo 3
Agora, vamos calcular o limite:
Para resolver limites de funções de duas variáveis, uma estratégia útil �� converter para coordenadas polares, onde
e
. Isso simplifica a expressão e facilita a análise do limite quando
.
Passo 4
Vamos fazer essa substituição:
Substituindo na função:
Simplificando:
Podemos cancelar
no numerador e denominador:
Passo 5
Agora, observamos que o fator
foi cancelado, e a expressão resultante não depende mais de
. Isso significa que o limite depende apenas de
. Para que o limite seja 0, essa expressão deve ser igual a 0 para qualquer
.
Vamos analisar:
O numerador é
, que pode variar entre -1/2 e 1/2, mas o denominador é sempre positivo e maior que zero para todo
. Assim, a razão é finita e não depende de
, o que indica que o limite da função não depende de
e, portanto, não tende a 0 quando
.
Passo 6
Uma outra forma de ver isso é avaliando o limite ao longo de diferentes caminhos que se aproximam de
. Por exemplo:
- Se
, substituindo na função, o limite pode variar dependendo do valor de , indicando que o limite não é único.
Isso confirma que o limite não existe ou não é igual a 0.
Resposta
A função
não é contínua em
.