Seja f(x, y)=lll1 x y3 x^2+3 x y+4 y^2 & se & (x, y) neq(0,0) 0 & se & (x, y)=(0,0) (1,0) A função f é contínua em (0,0) ?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O problema que a gente tem aqui é sobre a continuidade de uma função de duas variáveis no ponto f(x, y) = xy3x^2 + 3xy + 4y^2 & se (x, y) neq (0,0) 0 & se (x, y) = (0,0) . A função dada é:
Nosso objetivo é descobrir se essa função é contínua em . Para isso, vamos precisar entender o que é continuidade e como calcular limites de funções de duas variáveis.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa uma função ser contínua em um ponto. Em termos simples, uma função lim(x, y) to (a, b) f(x, y) = f(a, b) é contínua no ponto lim(x, y) to (0,0) f(x, y) = f(0, 0) se o limite de quando se aproxima de for igual ao valor da função nesse ponto, ou seja:
No nosso caso, queremos ver se:
Sabemos que , então precisamos verificar se o limite também é 0.

Passo 3

Agora, vamos calcular o limite:
lim(x, y) to (0,0) xy3x^2 + 3xy + 4y^2
Para resolver limites de funções de duas variáveis, uma estratégia útil �� converter para coordenadas polares, onde e . Isso simplifica a expressão e facilita a análise do limite quando .

Passo 4

Vamos fazer essa substituição:
x = rcostheta y = rsintheta
Substituindo na função:
xy3x^2 + 3xy + 4y^2 = (rcostheta)(rsintheta)3(rcostheta)^2 + 3(rcostheta)(rsintheta) + 4(rsintheta)^2
Simplificando:
r^2costhetasintheta3r^2cos^2theta + 3r^2costhetasintheta + 4r^2sin^2theta = r^2costhetasinthetar^2(3cos^2theta + 3costhetasintheta + 4sin^2theta)
Podemos cancelar costhetasintheta3cos^2theta + 3costhetasintheta + 4sin^2theta no numerador e denominador:

Passo 5

Agora, observamos que o fator costhetasintheta3cos^2theta + 3costhetasintheta + 4sin^2theta foi cancelado, e a expressão resultante não depende mais de . Isso significa que o limite depende apenas de . Para que o limite seja 0, essa expressão deve ser igual a 0 para qualquer .
Vamos analisar:
O numerador é , que pode variar entre -1/2 e 1/2, mas o denominador é sempre positivo e maior que zero para todo . Assim, a razão é finita e não depende de , o que indica que o limite da função não depende de e, portanto, não tende a 0 quando .

Passo 6

Uma outra forma de ver isso é avaliando o limite ao longo de diferentes caminhos que se aproximam de . Por exemplo:
  • Se , substituindo na função, o limite pode variar dependendo do valor de , indicando que o limite não é único.
Isso confirma que o limite não existe ou não é igual a 0.

Resposta

A função não é contínua em .

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