Calcule a área da região R.
Seja R a região compreendida entre os gráficos de y=sen x e y=cos x, se 0 <= x <= pi2.

Passo 1

O enunciado pede a área da região R entre as curvas y=sin x e y=cos x no intervalo 0<= x<= pi2. Vamos usar o fato de que, para duas funções f e g, a área entre elas é
integral (f(x)-g(x)),dx
sempre escolhendo f(x)>= g(x).

Passo 2

Precisamos saber onde sin x e cos x se cruzam. Resolve-se
sin x = cos x
tan x = 1
x = pi4
Então a divisão natural do intervalo é [0,pi4] e [pi4,pi2].

Passo 3

Em [0,tfracpi4] temos cos x>= sin x, logo a área parcial é
integral0^pi/4 l(cos x - sin xr),dx
Em [tfracpi4,tfracpi2] inverte: sin x>= cos x, e a área parcial é
integralpi/4^pi/2 l(sin x - cos xr),dx

Passo 4

Vamos calcular as duas integrais. Primeiro, usando integralcos x,dx=sin x e integralsin x,dx=-cos x:
integral0^pi/4 (cos x - sin x),dx =l[sin x + cos xr]0^pi/4 =l(tfracraiz22+tfracraiz22r)-(0+1) =raiz2-1

Passo 5

Agora a segunda:
integralpi/4^pi/2 (sin x - cos x),dx =l[-cos x - sin xr]pi/4^pi/2 =l(-0-1r)-l(-tfracraiz22-tfracraiz22r) =-1+ raiz2 =raiz2-1
Somando as duas áreas parciais, obtemos
(raiz2-1)+(raiz2-1)=2raiz2-2

Resposta

A área da região R é 2raiz2-2.

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