Seja r(x, y, z)=(x, y, z) e r=raizx^2+y^2+z^2=|r|. Determinar
nabla cdot(r^n r)

Passo 1

Vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos o vetor posição r(x, y, z) = (x, y, z) e a magnitude r = raizx^2+y^2+z^2. A tarefa é determinar a divergência do campo vetorial r^n r. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é divergência e como calculá-la em coordenadas cartesianas.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar a definição de divergência. Para um campo vetorial F = (Fx, Fy, Fz), a divergência é dada por:
nabla cdot F = partial Fxpartial x + partial Fypartial y + partial Fzpartial z
No nosso caso, o campo vetorial é F = r^n r = (r^n x, r^n y, r^n z) .

Passo 3

Vamos calcular cada uma das derivadas parciais:
  1. Para Fx = r^n x :
partial Fxpartial x = partialpartial x (r^n x) = x cdot partial r^npartial x + r^n cdot partial xpartial x
Sabemos que partial rpartial x = xr , então:
partial r^npartial x = n r^n-1 cdot xr = n x r^n-2
Portanto:
partial Fxpartial x = x cdot n x r^n-2 + r^n cdot 1 = n x^2 r^n-2 + r^n
  1. De forma semelhante, para Fy = r^n y :
partial Fypartial y = n y^2 r^n-2 + r^n
  1. E para Fz = r^n z :
partial Fzpartial z = n z^2 r^n-2 + r^n

Passo 4

Agora, somamos todas as derivadas parciais para encontrar a divergência:
nabla cdot (r^n r) = (n x^2 r^n-2 + r^n) + (n y^2 r^n-2 + r^n) + (n z^2 r^n-2 + r^n)
Simplificando:
nabla cdot (r^n r) = n r^n-2 (x^2 + y^2 + z^2) + 3 r^n
Como x^2 + y^2 + z^2 = r^2 , temos:
nabla cdot (r^n r) = n r^n-2 cdot r^2 + 3 r^n = n r^n + 3 r^n = (n + 3) r^n

Resposta

A divergência de r^n r é nabla cdot (r^n r) = (n + 3) r^n.

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