Seja r(x, y, z)=(x, y, z) e r=raizx^2+y^2+z^2=|r|. Determinar
nabla(log r)

Passo 1

Vamos resolver um exercício de cálculo vetorial onde precisamos encontrar o gradiente de log r, ou seja, nabla(log r). Para isso, vamos precisar entender o que é o gradiente, como calcular derivadas parciais e trabalhar com funções envolvendo vetores e suas magnitudes.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de uma função escalar, como log r, em coordenadas cartesianas é um vetor que aponta na direção de maior variação da função. Matematicamente, ele é dado por:
nabla (log r) = ( partial (log r)partial x, partial (log r)partial y, partial (log r)partial z )
Ou seja, precisamos calcular as derivadas parciais de log r em relação a cada uma das variáveis x, y e z.

Passo 3

Sabemos que r = raizx^2 + y^2 + z^2. Então, log r é uma função que depende de x, y e z através de r. Vamos calcular cada derivada parcial:
Primeiro, a derivada de log r em relação a x:
partial (log r)partial x = 1r cdot partial rpartial x
Agora, precisamos encontrar partial rpartial x.

Passo 4

Calculando partial rpartial x:
partial rpartial x = partialpartial x raizx^2 + y^2 + z^2 = xraizx^2 + y^2 + z^2 = xr
Substituindo de volta na expressão anterior:
partial (log r)partial x = 1r cdot xr = xr^2

Passo 5

De maneira similar, podemos calcular as derivadas parciais em relação a y e z:
partial (log r)partial y = yr^2
partial (log r)partial z = zr^2

Resposta

Portanto, o gradiente de log r é:
boxed nabla (log r) = ( xr^2, yr^2, zr^2 ) = rr^2

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