Seja
e
. Determinar
Passo 1
Vamos resolver um exercício de cálculo vetorial onde precisamos encontrar o gradiente de
, ou seja,
. Para isso, vamos precisar entender o que é o gradiente, como calcular derivadas parciais e trabalhar com funções envolvendo vetores e suas magnitudes.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que o gradiente de uma função escalar, como
, em coordenadas cartesianas é um vetor que aponta na direção de maior variação da função. Matematicamente, ele é dado por:
Ou seja, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a cada uma das variáveis
,
e
.
Passo 3
Sabemos que
. Então,
é uma função que depende de
,
e
através de
. Vamos calcular cada derivada parcial:
Primeiro, a derivada de
em relação a
:
Agora, precisamos encontrar
.
Passo 4
Calculando
:
Substituindo de volta na expressão anterior:
Passo 5
De maneira similar, podemos calcular as derivadas parciais em relação a
e
:
Resposta
Portanto, o gradiente de
é: