Nos Problemas 1-30, use a álgebra adequada e o Teorema 7.2.1 para determinar a transformada inversa de Laplace pedida.
28. L^-16 s+3s^4+5 s^2+4

Passo 1

O enunciado pede a transformada inversa de Laplace
L^-1gl6s+3s^4+5s^2+4gr
O conteúdo é fatorar o denominador, usar fração parcial e aplicar os pares
Lcos(at)=s/(s^2+a^2) e Lsin(at)=a/(s^2+a^2) (Teorema 7.2.1).

Passo 2

Fatoramos o denominador:
s^4+5s^2+4=(s^2+1)(s^2+4)
Então fazemos a descomposição em frações parciais:
6s+3(s^2+1)(s^2+4) =As+Bs^2+1+Cs+Ds^2+4

Passo 3

Multiplicando ambos os lados por
Expandindo e agrupando potências de :
Igualando a obtemos o sistema
Daí , , .

Passo 4

Substituindo os coeficientes,
6s+3(s^2+1)(s^2+4) =2s+1s^2+1+-2s-1s^2+4
Agora aplicamos transformada inversa termo a termo, usando
L^-1s/(s^2+a^2)=cos(at) e L^-1a/(s^2+a^2)=sin(at):
L^-1l2s+1s^2+1r =2cos(t)+sin(t),
L^-1l-2s-1s^2+4r =-2cos(2t)-tfrac12sin(2t)

Resposta

f(t)=2cos(t)+sin(t);-;2cos(2t);-;12sin(2t)

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