Calcule a área da região R.
Seja R a região limitada pelas curvas y=1x, y=x e x=4 y.

Passo 1

O enunciado pede a área da região R limitada pelas curvas y=tfrac1x, y=x e x=4y (ou seja, y=tfrac x4). Para resolver, vamos (1) encontrar os pontos de interseção dessas curvas, (2) entender como a região se projeta no eixo x e (3) usar integração em “fatias verticais” dividindo em intervalos onde a curva superior muda.

Passo 2

Calculamos as interseções:
y=xcom y=tfrac1x
x=tfrac1x;Longrightarrow;x^2=1;Longrightarrow;x=1(tomamos x>0),
de modo que se encontram em (1,1).
y=tfrac1xcom x=4y
x=4cdottfrac1x;Longrightarrow;x^2=4;Longrightarrow;x=2(x>0),
logo interseção em l(2,tfrac12r).
y=xcom x=4y
x=4x;Longrightarrow;3x=0;Longrightarrow;x=0,
dando o vértice (0,0).
Assim, R é o “triângulo curvo” com vértices (0,0), (1,1), (2,tfrac12).

Passo 3

Para cada xin[0,2], o limite inferior da região é sempre
ymin= x4,
pois a reta y=x/4 está abaixo de ambas as outras curvas nesse intervalo. O limite superior muda em x=1:
  • Para 0<= x<=1, a curva superior é y=x.
  • Para 1<= x<=2, a curva superior é y=tfrac1x, já que aí tfrac1x<= x.

Passo 4

Escrevemos a área como soma de dois integrais:
A=integral0^1l(x-tfrac x4r),dx +integral1^2l(tfrac1x-tfrac x4r),dx
Calculamos cada um:
  1. Para 0<= x<=1:
integral0^1l(x-tfrac x4r),dx =integral0^1tfrac3x4,dx =34cdotx^22|0^1 =38
  1. Para 1<= x<=2:
integral1^2l(tfrac1x-tfrac x4r),dx =l[ln x-tfracx^28r]1^2 =l(ln2-tfrac48r)-l(0-tfrac18r) =ln2-tfrac12+tfrac18 =ln2-tfrac38
Somando:
A=38+l(ln2-tfrac38r) =ln2

Resposta

A área da região R é ln 2.

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