Calcule as áreas das regiões limitadas pelas funções
y=x^2-4 e y=-x^2-2 x

Passo 1

O enunciado pede a área da região limitada pelas curvas
y = x^2 - 4
e
y = -x^2 - 2x
O conteúdo aqui é o cálculo de área entre duas curvas: primeiro determinamos os pontos de interseção, depois identificamos qual função é a “superior” e, por fim, integramos a diferença entre elas.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção resolvemos
x^2 - 4 = -x^2 - 2x
iff 2x^2 + 2x - 4 = 0
iff x^2 + x - 2 = 0
As raízes são
x = -1 pm raiz1 + 82 ;=;-1 pm 32,
logo x = 1 ou x = -2.

Passo 3

Para ver qual curva fica por cima em [-2,1], calculamos
l(-x^2-2xr) - l(x^2-4r) = -2x^2 - 2x + 4 = -2,(x^2+x-2)
Como x^2+x-2 muda de sinal em -2 e 1 e é negativo entre esses valores, temos -2,(x^2+x-2)>0. Portanto
ysuperior = -x^2-2x, yinferior = x^2-4

Passo 4

A área pedida é
integralx=-2^1l[l(-x^2-2xr)-l(x^2-4r)r],dx =integral-2^1l(-2x^2-2x+4r),dx
Uma primitiva é
F(x) = integrall(-2x^2-2x+4r),dx = -tfrac23x^3-x^2+4x

Passo 5

Avaliaremos de -2 a 1:
F(1) = -tfrac23cdot1^3 - 1^2 + 4cdot1 = -tfrac23 -1 +4 = tfrac73,
F(-2) = -tfrac23cdot(-2)^3 - (-2)^2 +4cdot(-2) = -tfrac23cdot(-8) -4 -8 = tfrac163 -12 = -tfrac203
Então a área é
F(1)-F(-2) = tfrac73 - l(-tfrac203r) = tfrac273 = 9

Resposta

A área da região limitada pelas curvas é 9.

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