Considere a curva
parametrizada por
onde
.
a) Calcule o comprimento de arco da curva
.
b) Dê uma parametrização para a reta tangente a curva
no ponto
.
c) Suponha que
é o vetor posição de uma partícula no instante
. Mostre que en qualquer instante
o vetor aceleração
é perpendicular ao vetor velocidade
.
a) Calcule o comprimento de arco da curva
b) Dê uma parametrização para a reta tangente a curva
c) Suponha que
Passo 1
O enunciado nos dá a curva
parametrizada por
e pede:
– (a) o comprimento de arco de ;
– (b) uma parametrização da reta tangente a no ponto
;
– (c) mostrar que o vetor aceleração é sempre perpendicular ao vetor velocidade
.
Para isso vamos usar a fórmula de comprimento de curva, derivadas para obter velocidade e aceleração, e produto escalar para verificar ortogonalidade.
– (a) o comprimento de arco de
– (b) uma parametrização da reta tangente a
– (c) mostrar que o vetor aceleração
Para isso vamos usar a fórmula de comprimento de curva, derivadas para obter velocidade e aceleração, e produto escalar para verificar ortogonalidade.
Passo 2
Calcular o vetor velocidade
e seu módulo. Derivando componente a componente:
O módulo é
Passo 3
Aplicar a fórmula do comprimento de arco
Passo 4
Encontrar o parâmetro
tal que
. Pelo segundo componente,
leva a
. Verifica-se então
e
, conferindo as coordenadas de
.
Passo 5
Calcular
e escrever a reta tangente. Em
:
Logo uma parametrização da reta tangente é
Passo 6
Calcular o vetor aceleração
e mostrar
. Derivando
:
O produto escalar é
logo são ortogonais em todo
.
Resposta
(a)
(b)
(c) Como para todo
,
é perpendicular a
.
(b)
(c) Como