Considere a curva C parametrizada por sigma(t)=(3 cos (2 t), 2 t, 3 sen(2 t)) onde 0 <= t <= 4 pi.
a) Calcule o comprimento de arco da curva C.
b) Dê uma parametrização para a reta tangente a curva C no ponto P0=(3,2 pi, 0).
c) Suponha que sigma(t) é o vetor posição de uma partícula no instante t. Mostre que en qualquer instante t o vetor aceleração A(t) é perpendicular ao vetor velocidade V(t).

Passo 1

O enunciado nos dá a curva C parametrizada por
sigma(t) = l(3cos(2t),,2t,,3sen(2t)r), 0<= t<= 4pi,
e pede:
– (a) o comprimento de arco de C;
– (b) uma parametrização da reta tangente a C no ponto P0=(3,2pi,0);
– (c) mostrar que o vetor aceleração A(t) é sempre perpendicular ao vetor velocidade V(t).
Para isso vamos usar a fórmula de comprimento de curva, derivadas para obter velocidade e aceleração, e produto escalar para verificar ortogonalidade.

Passo 2

Calcular o vetor velocidade V(t)=sigma'(t) e seu módulo. Derivando componente a componente:
V(t)=sigma'(t)=l(-6sen(2t),,2,,6cos(2t)r)
O módulo é
|V(t)| =raiz(-6sen(2t))^2 + 2^2 + (6cos(2t))^2 =raiz36sen^2(2t)+4+36cos^2(2t) =raiz36(sen^2(2t)+cos^2(2t))+4 =raiz36+4 =2raiz10

Passo 3

Aplicar a fórmula do comprimento de arco
L=integral0^4pi|V(t)|,dt =integral0^4pi2raiz10,dt =2raiz10l[tr]0^4pi =8piraiz10

Passo 4

Encontrar o parâmetro t0 tal que sigma(t0)=P0=(3,2pi,0). Pelo segundo componente, 2t0=2pi leva a t0=pi. Verifica-se então cos(2pi)=1 e sen(2pi)=0, conferindo as coordenadas de P0.

Passo 5

Calcular V(t0) e escrever a reta tangente. Em t0=pi:
V(pi)=l(-6sen(2pi),,2,,6cos(2pi)r)=(0,2,6)
Logo uma parametrização da reta tangente é
ell(s)=P0+s,V(pi) =(3,2pi,0)+s,(0,2,6)

Passo 6

Calcular o vetor aceleração A(t)=V'(t) e mostrar V(t)perp A(t). Derivando V(t):
A(t)=V'(t)=l(-12cos(2t),,0,,-12sen(2t)r)
O produto escalar é
V(t)cdot A(t) =(-6sen(2t))(-12cos(2t)) + 2cdot0 + (6cos(2t))(-12sen(2t)) =72sen(2t)cos(2t)-72cos(2t)sen(2t)=0,
logo são ortogonais em todo t.

Resposta

(a) L=8piraiz10
(b) ell(s)=(3,2pi,0)+s,(0,2,6)
(c) Como V(t)cdot A(t)=0 para todo t, A(t) é perpendicular a V(t).

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