Calcule a área da região R.
Seja R a região limitada por x=2 e a função x=y^2+1.

Passo 1

O enunciado define a região R limitada pela parábola x=y^2+1 (abertura para a direita) e pela reta vertical x=2. Vamos calcular a área dessa região usando integração.

Passo 2

Precisamos primeiro achar até que valores de y a região vai. Fazendo
y^2+1=2
temos y^2=1, ou seja y=-1 e y=1. Logo, R está entre y=-1 e y=1.

Passo 3

Para uma região entre duas curvas escritas como x=xdireita(y) e x=xesquerda(y), a área é
A=integraly1^y2l(xdireita(y)-xesquerda(y)r),dy
Aqui xdireita(y)=2 e xesquerda(y)=y^2+1. Então
A=integral-1^1l(2-(y^2+1)r),dy =integral-1^1(1-y^2),dy

Passo 4

Agora calculamos a integral em duas partes:
integral-1^11,dy=2,
integral-1^1y^2,dy =2integral0^1y^2,dy =2cdot13 =23
Logo
A=2-23=43

Resposta

43

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