Encontre a série de Taylor ou MacLaurin em torno do ponto c dado para as seguintes funções. Determine os valores de x para os quais a série converge.
sumk=0^infty (-1)^k x^2 k(2 k)!

Passo 1

O enunciado nos dá a série de Maclaurin (isto é, em torno de c=0)
sumk=0^infty (-1)^k x^2k(2k)!
e pede para identificar a que função ela corresponde e para quais valores de x ela converge. O conteúdo envolvido é séries de Taylor/Maclaurin.

Passo 2

Para determinar o raio de convergência, aplicamos o teste da razão a
ak = (-1)^k x^2k(2k)!
Calculamos
gl|ak+1akgr| = |x|^2(k+1)(2k+2)!,(2k)!|x|^2k = x^2(2k+2)(2k+1)
Como, para ktoinfty, esse quociente tende a 0 para todo x, o raio de convergência é infinito. Portanto a série converge para todo xinR.

Passo 3

Comparando com a definição da série de Maclaurin de cos(x), que é
cos(x) = sumk=0^infty (-1)^k x^2k(2k)!,
vemos que a soma da nossa série é exatamente cos(x).

Resposta

A série de Maclaurin é
cos(x) = sumk=0^infty (-1)^k x^2k(2k)!,
e ela converge para todo xinR.

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