Encontre a série de Taylor ou MacLaurin em torno do ponto
dado para as seguintes funções. Determine os valores de
para os quais a série converge.
Passo 1
O enunciado nos dá a série de Maclaurin (isto é, em torno de
)
e pede para identificar a que função ela corresponde e para quais valores de
ela converge. O conteúdo envolvido é séries de Taylor/Maclaurin.
Passo 2
Para determinar o raio de convergência, aplicamos o teste da razão a
Calculamos
Como, para
ktoinfty , esse quociente tende a
0 para todo
x , o raio de convergência é infinito. Portanto a série converge para todo
xinR .
Passo 3
Comparando com a definição da série de Maclaurin de
cos(x) , que é
vemos que a soma da nossa série é exatamente
cos(x) .
Resposta
A série de Maclaurin é
e ela converge para todo
xinR .