Resolva as integrais abaixo usando integração por partes.
integral0^1(2 t-t^2) e^-t d t

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I = integral0^1(2t - t^2),e^-t,dt
usando integração por partes. Vamos usar a versão definida da fórmula
integrala^bu,dv = l[u,vr]a^b - integrala^bv,du

Passo 2

Escolhemos
u = 2t - t^2, dv = e^-t,dt
Então
du = (2 - 2t),dt, v = integral e^-t,dt = -e^-t
Por integração por partes,
integral0^1(2t - t^2),e^-t,dt = l[(2t - t^2)(-e^-t)r]0^1 - integral0^1(-e^-t)(2 - 2t),dt

Passo 3

Calculamos o termo de contorno:
l[(2t - t^2)(-e^-t)r]0^1 = l[-(2cdot1 - 1^2)e^-1r] - l[-(2cdot0 - 0^2)e^0r] = -1e - 0 = -1e
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I = -1e + integral0^1(2 - 2t),e^-t,dt

Passo 4

Denotamos
J = integral0^1(2 - 2t),e^-t,dt = 2integral0^1e^-t,dt ;-; 2integral0^1t,e^-t,dt

Passo 5

Primeiro,
integral0^1e^-t,dt = l[-e^-tr]0^1 = -(e^-1-1) = 1 - 1e
Segundo, usamos partes em integral0^1t,e^-t,dt: com u=t, dv=e^-tdt vem
integral0^1t,e^-t,dt = l[-t,e^-tr]0^1 + integral0^1e^-t,dt = l(-1e-0r) + l(1 - 1er) = 1 - 2e

Passo 6

Agora
J = 2l(1 - 1er) - 2l(1 - 2er) = 2 - 2e - 2 + 4e = 2e
Portanto
I = -1e + 2e = 1e

Resposta

1e

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