Resolva as integrais abaixo usando integração por partes.
integral-pi^pi(theta^2+pi) sen theta d theta

Passo 1

Beleza, vamos resolver a integral integral-pi^pi (theta^2 + pi) sin theta , dtheta usando integração por partes. Na integração por partes, a gente escolhe duas partes da integral para serem u e dv. Vamos precisar lembrar a fórmula de integração por partes e como aplicar corretamente para resolver essa integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar qual parte da nossa função vai ser u e qual vai ser dv. Geralmente, é bom escolher u como a parte que fica mais simples quando derivada. Aqui, vamos deixar:
u = theta^2 + pi e dv = sin theta , dtheta

Passo 3

Agora, precisamos encontrar du e v. Para isso, derivamos u e integramos dv:
du = ddtheta (theta^2 + pi) , dtheta = 2theta , dtheta
v = integral sin theta , dtheta = -cos theta

Passo 4

Aplicamos a fórmula de integração por partes:
integral u , dv = uv - integral v , du
Substituindo os valores que encontramos:
integral (theta^2 + pi) sin theta , dtheta = (theta^2 + pi)(- cos theta) - integral (-cos theta)(2theta) , dtheta
Simplificando:
= -(theta^2 + pi) cos theta + 2 integral theta cos theta , dtheta

Passo 5

Agora, precisamos resolver a integral integral theta cos theta , dtheta usando novamente integração por partes. Vamos escolher:
u = theta e dv = cos theta , dtheta
Então,
du = dtheta e v = integral cos theta , dtheta = sin theta
Aplicando a fórmula:
integral theta cos theta , dtheta = theta sin theta - integral sin theta , dtheta = theta sin theta + cos theta

Passo 6

Voltando à expressão anterior:
integral (theta^2 + pi) sin theta , dtheta = -(theta^2 + pi) cos theta + 2(theta sin theta + cos theta) + C
Onde C é a constante de integração. Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de -pi a pi:
[ -(theta^2 + pi) cos theta + 2theta sin theta + 2cos theta ]-pi^pi

Passo 7

Agora, substituímos theta = pi e theta = -pi:
Para theta = pi:
-(pi^2 + pi)(-1) + 2pi cdot 0 + 2(-1) = (pi^2 + pi) - 2
Para theta = -pi:
-((pi)^2 + pi)(-1) + 2(-pi) cdot 0 + 2(-1) = (pi^2 + pi) - 2

Passo 8

Calculando a diferença:
[(pi^2 + pi) - 2] - [(pi^2 + pi) - 2] = 0

Resposta

O valor da integral é 0.

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