Calcule as seguintes integrais
integral0^raiz3 arctan (1 / x) d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
I = integral0^raiz3 arctanl(1/xr),dx
O conteúdo principal aqui é integração por partes, já que temos um produto “função complicada” vezes “dx”.

Passo 2

Aplicando a fórmula de integração por partes
integral u,dv = u,v - integral v,du,
escolhemos
u = arctanl(1/xr), dv = dx
Então
v = x, du = ddxl[arctan(1/x)r],dx = -1x^2+1,dx
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I = l[x,arctan(1/x)r]0^raiz3 - integral0^raiz3 xl(-tfrac1x^2+1r),dx = l[x,arctan(1/x)r]0^raiz3 + integral0^raiz3xx^2+1,dx

Passo 3

Vamos avaliar o termo de fronteira
l[x,arctan(1/x)r]0^raiz3 = raiz3;arctan!l(1/raiz3r) - limxto0^+x,arctan!l(1/xr)
Como arctan(1/raiz3)=pi/6 e limxto0^+x,arctan(1/x)=0, temos
l[x,arctan(1/x)r]0^raiz3 = raiz3;pi6 = piraiz36

Passo 4

Agora calculamos
integral0^raiz3xx^2+1,dx
Fazendo a substituição t = x^2+1, dt = 2x,dx, vem
integral xx^2+1,dx = 12integral dtt = 12ln t + C
Portanto
integral0^raiz3xx^2+1,dx = 12l[ln(x^2+1)r]0^raiz3 = 12l(ln4 - ln1r) = ln2

Passo 5

Juntando os resultados de

Passo 6

I = piraiz36 + ln2

Resposta

piraiz36 + ln2

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