Calcule a área da região simultaneamente interior à curva r=1+cos theta e exterior à r=2 cos theta.

Passo 1

Enunciado resumido: a gente quer a área da região que, em coordenadas polares, fica ao mesmo tempo dentro do cardioide r=1+costheta e fora do círculo dado por r=2costheta. O tema aqui é cálculo de área em coordenadas polares, usando a fórmula A=tfrac12integral(rexterno^2 - rinterno^2),dtheta

Passo 2

Identificação das curvas: r=1+costheta é um cardioide que fica inteiro para r>=0; r=2costheta representa o círculo x^2+y^2=2x e só gera r>=0 quando costheta>=0. Para costheta<0, o arco polar deste círculo é descartado (pois daria r<0).

Passo 3

Construção do intervalo radial para cada theta: como queremos estar exterior ao círculo, tomamos o raio mínimo rmin=max(2costheta,0). Como queremos estar interno ao cardioide, o raio máximo é rmax=1+costheta.

Passo 4

Divisão em faixas angulares e montagem da integral: para costheta>=0 (isto é, thetain[-tfracpi2,tfracpi2]) temos rmin=2costheta; para costheta<0 (isto é, thetain[tfracpi2,tfrac3pi2]) temos rmin=0. Logo
A=12l[integral-pi/2^pi/2l((1+costheta)^2-(2costheta)^2r),dtheta +integralpi/2^3pi/2(1+costheta)^2,dthetar]

Passo 5

Cálculo do primeiro integral: definindo I1=integral-pi/2^pi/2l[(1+costheta)^2-4cos^2thetar]dtheta. Expandindo,
(1+costheta)^2-4cos^2theta=1+2costheta-3cos^2theta, e usando cos^2theta=(1+cos2theta)/2 obtemos após integração termo a termo
I1=l[theta+2sintheta-tfrac32theta-tfrac34sin2thetar]-pi/2^pi/2=4-tfracpi2

Passo 6

Cálculo do segundo integral: definindo I2=integralpi/2^3pi/2(1+2costheta+cos^2theta)dtheta. Expandindo e integrando,
I2=l[theta+2sintheta+tfrac12theta+tfrac14sin2thetar]pi/2^3pi/2=tfrac3pi2-4

Passo 7

Somando e multiplicando por 1/2:
A=tfrac12l(I1+I2r)=tfrac12l((4-tfracpi2)+(tfrac3pi2-4)r)=tfracpi2

Resposta

pi2

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