Calcule a área da região simultaneamente interior à curva
e exterior à
.
Passo 1
Enunciado resumido: a gente quer a área da região que, em coordenadas polares, fica ao mesmo tempo dentro do cardioide
e fora do círculo dado por
. O tema aqui é cálculo de área em coordenadas polares, usando a fórmula
Passo 2
Identificação das curvas:
é um cardioide que fica inteiro para
;
representa o círculo
e só gera
quando
. Para
, o arco polar deste círculo é descartado (pois daria
).
Passo 3
Construção do intervalo radial para cada
: como queremos estar exterior ao círculo, tomamos o raio mínimo
. Como queremos estar interno ao cardioide, o raio máximo é
.
Passo 4
Divisão em faixas angulares e montagem da integral: para
(isto é,
) temos
; para
(isto é,
) temos
. Logo
Passo 5
Cálculo do primeiro integral: definindo
. Expandindo,
Passo 6
Cálculo do segundo integral: definindo
. Expandindo e integrando,
Passo 7
Somando e multiplicando por
: