Calcule a área da região situada simultaneamente no interior dos seguintes pares de curvas:
e
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região que está ao mesmo tempo no interior das curvas em coordenadas polares
O conteúdo é área em coordenadas polares, usando a fórmula
mas aqui
.
Passo 2
Precisamos achar os ângulos onde as duas curvas se interceptam, isto é
Passo 3
Em cada intervalo entre
e
determinamos qual
é menor. Note que
nesse caso
. No complemento
vale
e então
. Assim
Passo 4
Montamos a integral da área como soma de três pedaços:
Aqui
Passo 5
Calculemos
Para
temos a primitiva
e, ao avaliar de
a
e de
a
, obtém-se
Para
a primitiva é
e avaliando de
a
aparece também
Passo 6
Logo a integral total de
é
E, aplicando a fórmula da área,