Calcule a área da região situada simultaneamente no interior dos seguintes pares de curvas:
r=2(1+sin theta) e r=2(1+cos theta).

Passo 1

O enunciado pede a área da região que está ao mesmo tempo no interior das curvas em coordenadas polares
r1(theta)=2l(1+sinthetar) e r2(theta)=2l(1+costhetar)
O conteúdo é área em coordenadas polares, usando a fórmula
A=12integraltheta1^theta2r(theta)^2,dtheta,
mas aqui r(theta)=minl(r1(theta),r2(theta)r).

Passo 2

Precisamos achar os ângulos onde as duas curvas se interceptam, isto é
2(1+sintheta)=2(1+costheta) ;Longrightarrow; sintheta=costheta ;Longrightarrow; tantheta=1 ;Longrightarrow; theta=pi4,;5pi4

Passo 3

Em cada intervalo entre tfracpi4 e tfrac5pi4 determinamos qual ri é menor. Note que
sintheta<costheta Long<=ftrightarrow thetainl[0,tfracpi4r)cupl(tfrac5pi4,2pir),
nesse caso r1(theta)<r2(theta). No complemento thetain(tfracpi4,tfrac5pi4) vale sintheta>costheta e então r2(theta)<r1(theta). Assim
r(theta)= r1(theta),&thetain[0,tfracpi4]cup[tfrac5pi4,2pi], r2(theta),&thetain[tfracpi4,tfrac5pi4]

Passo 4

Montamos a integral da área como soma de três pedaços:
A =12gl integral0^pi/4r1(theta)^2,dtheta +integralpi/4^5pi/4r2(theta)^2,dtheta +integral5pi/4^2pir1(theta)^2,dtheta gr
Aqui
r1^2=4l(1+2sintheta+sin^2thetar), r2^2=4l(1+2costheta+cos^2thetar)

Passo 5

Calculemos
I1=integral0^pi/4r1^2,dtheta+integral5pi/4^2pir1^2,dtheta e I2=integralpi/4^5pi/4r2^2,dtheta
Para r1^2 temos a primitiva
integral4l(1+2sintheta+sin^2thetar)dtheta =6theta-8costheta-(sin2theta)
e, ao avaliar de 0 a pi/4 e de 5pi/4 a 2pi, obtém-se
I1=6pi-8raiz2
Para r2^2 a primitiva é
integral4l(1+2costheta+cos^2thetar)dtheta =6theta+8sintheta+sin2theta
e avaliando de pi/4 a 5pi/4 aparece também
I2=6pi-8raiz2

Passo 6

Logo a integral total de r(theta)^2 é
integral0^2pil(min(r1,r2)r)^2dtheta =I1+I2 =12pi-16raiz2
E, aplicando a fórmula da área,
A =12,(12pi-16raiz2) =6pi-8raiz2

Resposta

6pi - 8raiz2

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