Determine a área da região simultaneamente interior às rosáceas r=sin (2 theta) e r=cos (2 theta).

Passo 1

Temos duas rosáceas dadas por r=sin(2theta) e r=cos(2theta). Precisamos achar a área em coordenadas polares da região onde ambas as curvas englobam o ponto, ou seja, a região onde r varia de 0 até o menor valor entre sin(2theta) e cos(2theta). Para isso, vamos usar a fórmula de área em polares: tfrac12integral r^2,dtheta.

Passo 2

Para que um ponto polar pertença à região comum, é preciso que sin(2theta) e cos(2theta) sejam não-negativos e que r<=min(sin(2theta),cos(2theta)). Então identificamos os intervalos de theta em que ambas as funções são ≥0 e, dentro deles, tomamos r até o menor valor entre elas.

Passo 3

As funções sin(2theta) e cos(2theta) são ≥0 simultaneamente quando 2thetain[0,pi/2]+kpi. Em thetain[0,tfracpi4], ambas são ≥0. Por simetria (as rosáceas têm quatro pétalas), basta computar a área em [0,tfracpi4] e multiplicar por 4.

Passo 4

Em [0,tfracpi4], as curvas se cruzam onde sin(2theta)=cos(2theta), ou seja, em 2theta=tfracpi4Rightarrowtheta=tfracpi8. Para thetain[0,tfracpi8], sin(2theta) é o mínimo; para thetain[tfracpi8,tfracpi4], cos(2theta) é o mínimo.

Passo 5

Então a área básica A1 em [0,tfracpi4] é
A1=12integral0^pi/8sin^2(2theta),dtheta+12integralpi/8^pi/4cos^2(2theta),dtheta
Usamos as identidades sin^2x=(1-cos2x)/2 e cos^2x=(1+cos2x)/2 para integrar explicitamente, encontrando
A1=pi16-18

Passo 6

Por fim, multiplicamos por 4 (as quatro regiões iguais) e obtemos a área total
4A1=4l(pi16-18r)=pi4-12

Resposta

pi4-12

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