Determine a área da região simultaneamente interior às rosáceas
e
.
Passo 1
Temos duas rosáceas dadas por
e
. Precisamos achar a área em coordenadas polares da região onde ambas as curvas englobam o ponto, ou seja, a região onde
varia de 0 até o menor valor entre
e
. Para isso, vamos usar a fórmula de área em polares:
.
Passo 2
Para que um ponto polar pertença à região comum, é preciso que
e
sejam não-negativos e que
. Então identificamos os intervalos de
em que ambas as funções são ≥0 e, dentro deles, tomamos
até o menor valor entre elas.
Passo 3
As funções
e
são ≥0 simultaneamente quando
. Em
, ambas são ≥0. Por simetria (as rosáceas têm quatro pétalas), basta computar a área em
e multiplicar por 4.
Passo 4
Em
, as curvas se cruzam onde
, ou seja, em
. Para
,
é o mínimo; para
,
é o mínimo.
Passo 5
Então a área básica
em
é
Usamos as identidades
e
para integrar explicitamente, encontrando
Passo 6
Por fim, multiplicamos por 4 (as quatro regiões iguais) e obtemos a área total