Calcule a área da região sombreada delimitada, respectivamente:
b) pela reta y=4 e a elipse
9 x^2+y^2=25
(Sugestão: Substituição trigonométrica.)

Passo 1

O enunciado pede a área da região interna à elipse
9x^2 + y^2 = 25
e limitada pela reta horizontal y=4. Em outras palavras, é a “tampa” superior da elipse entre os pontos de interseção com y=4. Para resolver isso, vamos:
  1. Determinar os pontos de interseção da reta com a elipse.
  2. Escrever a área como integral em x.
  3. Avaliar a integral usando substituição trigonométrica.

Passo 2

Primeiro achamos os pontos de interseção resolvendo
9x^2 + 4^2 = 25 Longrightarrow 9x^2 = 9 Longrightarrow x = pm 1
Logo a região vai de x=-1 a x=1, e para cada x a coordenada superior da elipse é
yelipse = raiz25 - 9x^2
Assim a área A é
A = integralx=-1^1 l(yelipse - 4r),dx = integral-1^1 raiz25 - 9x^2,dx ;-; integral-1^1 4,dx

Passo 3

Calculamos separadamente:
  1. integral-1^14,dx = 4cdot (1 - (-1)) = 8
  2. Para integral-1^1raiz25 - 9x^2,dx, fazemos a substituição
x = tfrac53sin t, dx = tfrac53cos t,dt, raiz25 - 9x^2 = 5cos t
Os limites em x=-1 e x=1 correspondem a sin t = -tfrac35 e sin t = tfrac35, ou seja t=-phi e t=+phi com
phi = arcsin!l(tfrac35r)
Logo
integral-1^1raiz25 - 9x^2,dx = integral-phi^phi l(5cos tr),l(tfrac53cos t,dtr) = 253integral-phi^phicos^2 t,dt

Passo 4

Usamos cos^2 t = tfrac1+cos2t2. Então
integral-phi^phicos^2 t,dt = integral-phi^phi1+cos2t2,dt = l[t2 + sin2t4r]-phi^phi = phi + sin2phi2
Como sinphi = tfrac35 e cosphi = tfrac45, temos
sin2phi = 2sinphicosphi = 2cdot tfrac35cdot tfrac45 = tfrac2425
Portanto
integral-1^1raiz25 - 9x^2,dx = 253l(phi + tfrac1225r) = 253,phi + 4

Passo 5

Voltando à área total:
A = l(tfrac253,phi + 4r);-;8 = 253,phi ;-;4,
onde phi = arcsin!l(tfrac35r). Como arcsin(tfrac35) = arctan(tfrac34), podemos escrever também
A = 253,arctan!l(tfrac34r) ;-;4

Resposta

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