Calcule a área da região sombreada delimitada, respectivamente:
b) pela reta
e a elipse
(Sugestão: Substituição trigonométrica.)
b) pela reta
Passo 1
O enunciado pede a área da região interna à elipse
e limitada pela reta horizontal
. Em outras palavras, é a “tampa” superior da elipse entre os pontos de interseção com
. Para resolver isso, vamos:
- Determinar os pontos de interseção da reta com a elipse.
- Escrever a área como integral em
. - Avaliar a integral usando substituição trigonométrica.
Passo 2
Primeiro achamos os pontos de interseção resolvendo
Logo a região vai de
a
, e para cada
a coordenada superior da elipse é
Assim a área
é
Passo 3
Calculamos separadamente:
-
- Para
, fazemos a substituição
Os limites em
e
correspondem a
e
, ou seja
e
com
Logo
Passo 4
Usamos
. Então
Como
e
, temos
Portanto
Passo 5
Voltando à área total:
onde
. Como
, podemos escrever também