Calcule o volume do elipsóide que é o sólido de revolução obtido girando a elipse x^225+y^29=1, em torno do eixo x.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido obtido ao girar em torno do eixo x a elipse
x^225+y^29=1
O conteúdo que vamos usar é o método dos discos: em cada posição x o sólido tem seção transversal circular de raio y(x), e o volume é dado por
V=integralxmin^xmaxpil(y(x)r)^2,dx

Passo 2

Da equação da elipse isolamos y em função de x. Temos
y^29=1-x^225 Longrightarrow y^2=9l(1-x^225r)

Passo 3

A seção transversal em x é um círculo de raio raizy^2, logo sua área vale
A(x)=pi,y^2 =picdot 9l(1-x^225r) =9pil(1-x^225r)

Passo 4

Os limites de x vêm dos extremos da elipse, que vão de -5 a 5. Assim o volume é
V=integral-5^59pil(1-x^225r),dx

Passo 5

Vamos calcular a integral:
integral-5^5l(1-x^225r),dx =integral-5^51,dx ;-;125integral-5^5x^2,dx =10 ;-;125cdot2cdot5^33 =10-25075 =10-103 =203

Passo 6

Multiplicando pelo fator 9pi, obtemos
V=9picdot203=3cdot20,pi=60pi

Resposta

O volume do elipsóide é 60pi.

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