Use a diferenciação implícita para determinar partial zpartial x e partial zpartial y.
sen(x y z)+x+2 y+3 z

Passo 1

O enunciado nos dá a relação implícita
sen(x y z)+x+2y+3z=0.
O conteúdo é diferenciação implícita em várias variáveis, usando a regra da cadeia no termo sen(xyz), considerando z=z(x,y). Vamos encontrar partial zpartial x e partial zpartial y.

Passo 2

Diferenciamos em relação a x, mantendo y constante:
partialpartial xl[sen(xyz)r] +partialpartial x[x] +partialpartial x[2y] +partialpartial x[3z] =0
Pela regra da cadeia,
partialpartial xl[sen(xyz)r] =cos(xyz),partialpartial x(xyz) =cos(xyz),(y z + x y,zx),
onde escrevemos zx=partial zpartial x. As outras derivadas são
partialpartial x[x]=1,
partialpartial x[2y]=0,
partialpartial x[3z]=3,zx.
Logo obtemos
cos(xyz),(y z + x y,zx)+1+3zx=0

Passo 3

Agrupando os termos que contêm zx:
(xycos(xyz)+3),zx + y zcos(xyz) +1 =0
Isolando zx, vem
partial zpartial x = zx =-y zcos(xyz)+1x ycos(xyz)+3

Passo 4

Agora diferenciamos em relação a y, mantendo x constante:
partialpartial yl[sen(xyz)r] +partialpartial y[x] +partialpartial y[2y] +partialpartial y[3z] =0
Pela regra da cadeia,
partialpartial yl[sen(xyz)r] =cos(xyz),partialpartial y(xyz) =cos(xyz),(x z + x y,zy),
onde zy=partial zpartial y. As outras derivadas são
partialpartial y[x]=0,
partialpartial y[2y]=2,
partialpartial y[3z]=3,zy.
Assim obtemos
cos(xyz),(x z + x y,zy)+2+3zy=0

Passo 5

Agrupando os termos que contêm zy:
(xycos(xyz)+3),zy + x zcos(xyz) +2 =0
Isolando zy, vem
partial zpartial y = zy =-x zcos(xyz)+2x ycos(xyz)+3

Resposta

partial zpartial x =-y zcos(xyz)+1x ycos(xyz)+3, partial zpartial y =-x zcos(xyz)+2x ycos(xyz)+3

Exercícios relacionados