Calcule a integral dupla da função f(x, y)=x+y sobre o retângulo definido por
0 <= x <= 2, 1 <= y <= 3
Ou seja, calcule
integral duplaR(x+y) d x d y

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral dupla de f(x,y)=x+y sobre o retângulo R dado por 0<= x<=2 e 1<= y<=3. O conteúdo aqui é a aplicação do Teorema de Fubini para integrar funções em retângulos, e vamos precisar de noções básicas de integração iterada.

Passo 2

Pelo Teorema de Fubini, podemos escrever
integral duplaR (x+y),dx,dy = integraly=1^3 l(integralx=0^2 (x+y),dxr)dy

Passo 3

Primeiro, integramos em x, tratando y como constante:
integralx=0^2 (x+y),dx = integral0^2 x,dx + integral0^2 y,dx = l[x^22r]0^2 + yl[xr]0^2 = 42 + 2y = 2 + 2y

Passo 4

Agora, integramos o resultado em y:
integraly=1^3 (2 + 2y),dy = integral1^3 2,dy + 2integral1^3 y,dy = 2[y]1^3 + 2l[y^22r]1^3 = 2(3-1) + (9-1) = 4 + 8 = 12

Resposta

12

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