Calcule a área das regiões delimitadas pelas curvas dadas. Escolha segundo sua observação qual o melhor método de integração em relação a x ou a y.
y=x^2, y=4 x-x^2

Passo 1

O enunciado pede a área entre as curvas y = x^2 e y = 4x - x^2. Vamos usar integração para calcular essa área, encontrando primeiro onde as duas curvas se interceptam.

Passo 2

Para achar os pontos de interseção, igualamos as funções:
x^2 = 4x - x^2
Isso dá
2x^2 - 4x = 0 implies 2x(x - 2) = 0
Logo, x = 0 e x = 2 são os limites de integração.

Passo 3

Observando as expressões, ambas estão na forma y = f(x), então fica mais prático integrar em x. A área será
A = integralx=0^2 l(curva de cima - curva de baixor),dx

Passo 4

Entre x=0 e x=2, temos 4x - x^2 >= x^2, então a curva de cima é y = 4x - x^2 e a de baixo é y = x^2. Montamos
A = integral0^2 l[(4x - x^2) - x^2r],dx = integral0^2(4x - 2x^2),dx

Passo 5

Agora integramos:
integral0^24x,dx = 2x^2|0^2 = 8,
integral0^22x^2,dx = 23x^3|0^2 = 163
Portanto,
A = 8 - 163 = 83

Resposta

83

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