Seja a função
Calcule o vetor gradiente
e a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor
.
Passo 1
Temos a função
. O objetivo é encontrar o vetor gradiente de
e a derivada direcional em
na direção de
. Esse exercício é sobre derivadas parciais, vetor gradiente e derivada direcional. Vamos precisar calcular as derivações parciais de
e usar a definição de derivada direcional por produto escalar com o vetor unitário.
Passo 2
Para calcular o vetor gradiente, lembramos que
. Calculando as derivadas parciais de
temos:
-
-
Portanto,.
Passo 3
Agora avaliamos o gradiente em
. Substituindo
e
em
, obtemos:
.
Passo 4
Para a derivada direcional, usamos a definição
,
onde é o vetor unitário na direção de
. Primeiro normalizamos:
,
então
.
Por fim fazemos o produto escalar:
.
onde
então
Por fim fazemos o produto escalar:
Resposta
As respostas são:
e a derivada direcional de
em
na direção de
é
.