Seja a função
f(x, y)=x^2+y^2
Calcule o vetor gradiente nabla f(x, y) e a derivada direcional de f no ponto (1,2) na direção do vetor v=(3,4).

Passo 1

Temos a função f(x,y)=x^2+y^2. O objetivo é encontrar o vetor gradiente de f e a derivada direcional em (1,2) na direção de vec v=(3,4). Esse exercício é sobre derivadas parciais, vetor gradiente e derivada direcional. Vamos precisar calcular as derivações parciais de f e usar a definição de derivada direcional por produto escalar com o vetor unitário.

Passo 2

Para calcular o vetor gradiente, lembramos que nabla f(x,y)=(partial f/partial x,,partial f/partial y). Calculando as derivadas parciais de f(x,y)=x^2+y^2 temos:
  • partial fpartial x=2x
  • partial fpartial y=2y
    Portanto, nabla f(x,y)=(2x,2y).

Passo 3

Agora avaliamos o gradiente em (1,2). Substituindo x=1 e y=2 em nabla f(x,y), obtemos:
nabla f(1,2)=(2cdot1,2cdot2)=(2,4).

Passo 4

Para a derivada direcional, usamos a definição
Dvec vf(1,2)=nabla f(1,2)cdotvec u,
onde vec u é o vetor unitário na direção de vec v. Primeiro normalizamos:
|vec v|=raiz3^2+4^2=5,
então
vec u=(3/5,4/5).
Por fim fazemos o produto escalar:
nabla f(1,2)cdotvec u=(2,4)cdot(3/5,4/5)=2cdottfrac35+4cdottfrac45=tfrac6+165=tfrac225.

Resposta

As respostas são: nabla f(x,y)=(2x,2y) e a derivada direcional de f em (1,2) na direção de vec v=(3,4) é tfrac225.

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