Questão (10 pontos):
Encontre a solução do problema de valor inicial:
Encontre a solução do problema de valor inicial:
Passo 1
Então, vamos lá! O problema que temos é resolver a equação diferencial de valor inicial:
Estamos lidando com equações diferenciais, especificamente uma equação de primeira ordem. Para resolver, precisamos identificar se a equação é exata ou se pode ser transformada em uma, e então aplicar as técnicas apropriadas.
Passo 2
Primeiro, vamos reescrever a equação de forma mais simples. Podemos dividir toda a equação por
para facilitar:
Isso simplifica os termos e nos ajuda a identificar possíveis soluções.
Passo 3
Agora, vamos reorganizar a equação para colocá-la na forma padrão de equação diferencial linear:
Identificando os termos, temos:
Essa forma nos ajuda a aplicar o método do fator integrante.
Passo 4
Para resolver, precisamos achar o fator integrante
, que é dado por:
Calculando a integral de
:
Essa integral pode ser complicada, mas observando a estrutura da equação, podemos notar que uma substituição adequada simplifica o processo.
Passo 5
Vamos fazer a substituição
. Então, a derivada de
em relação a
será:
Substituindo na equação original, conseguimos simplificar e integrar ambos os lados em termos de
.
Passo 6
Após simplificar e integrar, obtemos uma expressão para
em termos de
. Depois, substituímos
de volta para
e isolamos
para encontrar a solução geral da equação diferencial.
Resposta
A solução da equação diferencial com a condição inicial
é:
Onde
é uma constante determinada pela condição inicial. Aplicando
, encontramos
. Portanto, a solução particular é: