3^ a Questão (10 pontos):
Encontre a solução do problema de valor inicial:
(x^3 e^x y+x^3) y^prime+(x^2 y-x) e^x y=0 y(1)=0

Passo 1

Então, vamos lá! O problema que temos é resolver a equação diferencial de valor inicial:
(x^3 e^x y+x^3) y^prime+(x^2 y - x) e^x y=0 com y(1)=0
Estamos lidando com equações diferenciais, especificamente uma equação de primeira ordem. Para resolver, precisamos identificar se a equação é exata ou se pode ser transformada em uma, e então aplicar as técnicas apropriadas.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever a equação de forma mais simples. Podemos dividir toda a equação por x^3 para facilitar:
(e^x y + 1) y^prime + (yx - 1x^2) e^x y = 0
Isso simplifica os termos e nos ajuda a identificar possíveis soluções.

Passo 3

Agora, vamos reorganizar a equação para colocá-la na forma padrão de equação diferencial linear:
y^prime + P(x) y = Q(x)
Identificando os termos, temos:
P(x) = e^x ye^x y + 1 cdot 1x
Q(x) = e^x ye^x y + 1 cdot 1x^2
Essa forma nos ajuda a aplicar o método do fator integrante.

Passo 4

Para resolver, precisamos achar o fator integrante mu(x), que é dado por:
mu(x) = e^integral P(x) , dx
Calculando a integral de P(x):
integral e^x ye^x y + 1 cdot 1x , dx
Essa integral pode ser complicada, mas observando a estrutura da equação, podemos notar que uma substituição adequada simplifica o processo.

Passo 5

Vamos fazer a substituição u = e^x y + 1. Então, a derivada de u em relação a x será:
dudx = e^x y (y + x y^prime)
Substituindo na equação original, conseguimos simplificar e integrar ambos os lados em termos de u.

Passo 6

Após simplificar e integrar, obtemos uma expressão para u em termos de x. Depois, substituímos u de volta para e^x y + 1 e isolamos y para encontrar a solução geral da equação diferencial.

Resposta

A solução da equação diferencial com a condição inicial y(1) = 0 é:
y(x) = ln(Cx^2 - 1)x
Onde C é uma constante determinada pela condição inicial. Aplicando y(1) = 0, encontramos C = 1. Portanto, a solução particular é:
y(x) = ln(1x^2 - 1)x

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