Selx1^prime(t)=x1(t)-5 x2(t) x2^prime(t)=x1(t)-3 x2(t) então:
a. X(t)=e^-t(cos t[l1 1]-sin t[l1 0])
b. X(t)=e^-t(cos t[l1 2]+sin t[l1 1])
c. X(t)=e^-t(cos t[l1 0]-sin t[l2 1])
d. X(t)=e^-t(cos t[l2 1]-sin t[l1 0])
e. X(t)=e^-t(cos t[l1 1]+sin t[l1 0]) é uma solução do sistema

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações diferenciais que descreve como duas funções, x1(t) e x2(t), mudam com o tempo. A questão apresenta várias opções de soluções possíveis para esse sistema e pergunta qual delas está correta. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de sistemas lineares de equações diferenciais, mais especificamente autovalores e autovetores. Vamos precisar calcular os autovalores da matriz do sistema e verificar qual das opções se encaixa nessa solução geral.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever nosso sistema na forma matricial. Temos:
x1'(t) = x1(t) - 5x2(t) x2'(t) = x1(t) - 3x2(t)
Isso pode ser representado como:
X'(t) = A X(t)
onde A = 1 & -5 1 & -3 e X(t) = x1(t) x2(t) .

Passo 3

Agora, para encontrar a solução geral desse sistema, precisamos calcular os autovalores da matriz A . Isso é feito resolvendo o determinante da matriz A - lambda I igual a zero:
det(A - lambda I) = 0
Calculando:
det( 1 - lambda & -5 1 & -3 - lambda ) = (1 - lambda)(-3 - lambda) - (-5)(1)
Simplificando:
(1 - lambda)(-3 - lambda) + 5 = (lambda^2 + 2lambda + 2) = 0
Resolvendo a equação quadrática:
lambda = -1 pm i
Então, os autovalores são complexos e conjugados: -1 + i e -1 - i.

Passo 4

Com autovalores complexos, a solução geral do sistema tem a forma:
X(t) = e^alpha t ( cos(beta t) v1 + sin(beta t) v2 )
onde alpha = -1, beta = 1, e v1 e v2 são vetores associados aos autovalores.

Passo 5

Vamos encontrar os autovetores associados a um dos autovalores, digamos lambda = -1 + i. Substituindo na equação (A - lambda I)v = 0 :
2 - i & -5 1 & -2 - i v1 v2 = 0 0
Resolvendo, obtemos que v1 = 2 + i e v2 = 1 . Então, o vetor associado é v = 2 + i 1 .

Passo 6

Agora, substituímos tudo na solução geral:
X(t) = e^-t ( cos(t) 2 1 - sin(t) 1 0 )

Passo 7

Comparando com as opções dadas na questão, vemos que a opção d corresponde exatamente a esta forma:
X(t) = e^-t( cos t 2 1 - sin t 1 0 )

Resposta

A opção d é uma solução do sistema.

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