então:
a.
b. X(t)=e^-t(cos t[l1 2]+sin t[l1 1])
c. X(t)=e^-t(cos t[l1 0]-sin t[l2 1])
d. X(t)=e^-t(cos t[l2 1]-sin t[l1 0])
e. X(t)=e^-t(cos t[l1 1]+sin t[l1 0]) é uma solução do sistema
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um sistema de equações diferenciais que descreve como duas funções, x1(t) e x2(t), mudam com o tempo. A questão apresenta várias opções de soluções possíveis para esse sistema e pergunta qual delas está correta. Para resolver isso, vamos usar o conteúdo de sistemas lineares de equações diferenciais, mais especificamente autovalores e autovetores. Vamos precisar calcular os autovalores da matriz do sistema e verificar qual das opções se encaixa nessa solução geral.
Passo 2
Primeiro, vamos escrever nosso sistema na forma matricial. Temos:
x1'(t) = x1(t) - 5x2(t) x2'(t) = x1(t) - 3x2(t)
Isso pode ser representado como:
X'(t) = A X(t)
onde A = 1 & -5 1 & -3 e X(t) = x1(t) x2(t) .
Passo 3
Agora, para encontrar a solução geral desse sistema, precisamos calcular os autovalores da matriz A . Isso é feito resolvendo o determinante da matriz A - lambda I igual a zero: