Calcule a área das regiões delimitadas pelas curvas dadas. Escolha segundo sua observação qual o melhor método de integração em relação a x ou a y.
y=raizx, y=12 x, com x=9

Passo 1

Temos as curvas y=raizx, y=tfrac12x e a reta vertical x=9. O objetivo é encontrar a área da região fechada por essas três curvas. Vamos usar integração em x, pois é mais direto aqui.

Passo 2

Primeiro, achamos onde y=raizx e y=tfrac12x se cruzam, pois isso dá o limite inferior de integração. Resolvendo

Passo 3

raizx=tfrac12xLongrightarrow x=0 ou x=4

Passo 4

Como a interseção relevante para a região entre as curvas e a reta x=9 é em (4,2), nosso intervalo de x vai de 4 a 9.

Passo 5

Sabendo que entre x=4 e x=9 a reta y=tfrac12x está acima da curva y=raizx, usamos a fórmula da área entre curvas:

Passo 6

A=integrala^bl[ytop(x)-ybot(x)r],dx

Passo 7

Aqui ytop=tfrac12x e ybot=raizx, com a=4 e b=9. Então

Passo 8

A=integral4^9l(tfrac12x-raizxr)dx

Passo 9

Agora calculamos a integral:

Passo 10

integral!tfrac12x,dx=tfracx^24,integral!raizx,dx=integral x^1/2dx=tfrac23x^3/2

Passo 11

Avaliando de 4 a 9:

Passo 12

A=l[tfracx^24-tfrac23x^3/2r]4^9 =l(tfrac814-tfrac23cdot27r)-l(tfrac164-tfrac23cdot8r)

Passo 13

Calculando os termos:

Passo 14

tfrac814-18=tfrac81-724=tfrac94,4-tfrac163=tfrac12-163=-tfrac43

Passo 15

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Passo 16

A=tfrac94-l(-tfrac43r)=tfrac94+tfrac43=tfrac27+1612=tfrac4312

Resposta

tfrac4312

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