Calcule a área das regiões delimitadas pelas curvas dadas. Escolha segundo sua observação qual o melhor método de integração em relação a x ou a y.
y=x^2+1, y=3-x^2, com x=-2, x=2

Passo 1

O enunciado pede a área das regiões delimitadas por
y = x^2 + 1, y = 3 - x^2, x = -2, x = 2
Como ambas as curvas são funções de x e as bordas verticais são x=-2 e x=2, o método mais direto é integrar em relação a x.

Passo 2

Primeiro achamos onde as curvas se intersectam, resolvendo
x^2 + 1 = 3 - x^2 ;Longrightarrow; 2x^2 = 2 ;Longrightarrow; x = pm 1
Nesses pontos y=2. Logo, o intervalo [-2,2] fica dividido em três pedaços:
[-2,-1],[-1,1],[1,2]

Passo 3

Em cada subintervalo identificamos qual curva está por cima:
  • Para lvert xrvert<=1, x^2<=1 implica 3-x^2 >= 2 e x^2+1<=2, logo yrm top=3-x^2, yrm bot=x^2+1.
  • Para lvert xrvert>=1, x^2>=1 implica x^2+1>=2 e 3-x^2<=2, logo yrm top=x^2+1, yrm bot=3-x^2.

Passo 4

Área da região central ( -1<= x<=1):
Ac = integral-1^1l[(3 - x^2)-(x^2+1)r],dx = integral-1^1(2 - 2x^2),dx
Calculando,
integral-1^1(2 - 2x^2),dx =l[2x-tfrac2x^33r]-1^1 =l(2-tfrac23r)-l(-2+tfrac23r) = 83

Passo 5

Área das regiões laterais ( -2<= x<=-1 e 1<= x<=2), que são simétricas. Para, digamos, 1<= x<=2:
Aell = integral1^2l[(x^2+1)-(3-x^2)r],dx = integral1^2(2x^2-2),dx = l[tfrac2x^33-2xr]1^2 = 83
Pela simetria, a região em [-2,-1] tem a mesma área 8/3.

Resposta

Cada uma das três regiões tem área tfrac83.
O total (somando-as) é 3timestfrac83=8.

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