Seja a função
(a) Calcule o vetor gradiente
.
(b) Determine a derivada direcional de
no ponto
na direção do vetor unitário
.
(b) Determine a derivada direcional de
Passo 1
Resumo: Temos a função
. O conteúdo aqui é cálculo de gradiente e derivada direcional. Para isso vamos precisar de derivadas parciais e da definição de derivada direcional como produto escalar entre gradiente e vetor unitário.
Passo 2
Para achar o gradiente, primeiro calculamos as derivadas parciais. A derivada parcial em relação a
é
e a derivada parcial em relação a
é
. Em seguida, usamos a definição
Substituindo as derivadas parciais, obtemos
Passo 3
Agora, para a derivada direcional no ponto
na direção de
, obtemos primeiro
Por fim, aplicamos a definição de derivada direcional:
Resposta
(a)
. (b)
.