Seja a função
f(x, y)=x e^y
(a) Calcule o vetor gradiente nabla f(x, y).
(b) Determine a derivada direcional de f no ponto (0,0) na direção do vetor unitário u=1raiz2(1,1).

Passo 1

Resumo: Temos a função f(x,y)=x e^y. O conteúdo aqui é cálculo de gradiente e derivada direcional. Para isso vamos precisar de derivadas parciais e da definição de derivada direcional como produto escalar entre gradiente e vetor unitário.

Passo 2

Para achar o gradiente, primeiro calculamos as derivadas parciais. A derivada parcial em relação a x é partial fpartial x=e^y e a derivada parcial em relação a y é partial fpartial y=x e^y. Em seguida, usamos a definição
nabla f(x,y)=(partial fpartial x,,partial fpartial y)
Substituindo as derivadas parciais, obtemos
nabla f(x,y)=l(e^y,,x e^yr)

Passo 3

Agora, para a derivada direcional no ponto (0,0) na direção de vec u=tfrac1raiz2(1,1), obtemos primeiro
nabla f(0,0)=l(e^0,,0cdot e^0r)=(1,0)
Por fim, aplicamos a definição de derivada direcional:
Dvec uf(0,0)=nabla f(0,0)cdotvec u=(1,0)cdot(tfrac1raiz2,,tfrac1raiz2)=tfrac1raiz2

Resposta

(a) nabla f(x,y)=(e^y,,x e^y). (b) Dvec uf(0,0)=tfrac1raiz2.

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