Dada a função
(a) Encontre o vetor gradiente
.
(b) Calcule a derivada direcional no ponto
na direção do vetor
.
(b) Calcule a derivada direcional no ponto
Passo 1
Nesse exercício vamos encontrar o vetor gradiente e a derivada direcional da função f(x,y)=ln(x²+y²). Para isso precisamos calcular as derivadas parciais e depois usar a definição de derivada direcional com o gradiente.
Passo 2
Para obter as derivadas parciais, aplicamos a regra da cadeia: seja g(x,y)=x²+y². Então
Passo 3
Com isso, o vetor gradiente fica
Passo 4
A derivada direcional em direção ao vetor unitário
no ponto
é dada por
. Avaliando em
temos
como
, segue