Dada a função
f(x, y)=ln (x^2+y^2)
(a) Encontre o vetor gradiente nabla f(x, y).
(b) Calcule a derivada direcional no ponto (1,-1) na direção do vetor u=1raiz2(1,1).

Passo 1

Nesse exercício vamos encontrar o vetor gradiente e a derivada direcional da função f(x,y)=ln(x²+y²). Para isso precisamos calcular as derivadas parciais e depois usar a definição de derivada direcional com o gradiente.

Passo 2

Para obter as derivadas parciais, aplicamos a regra da cadeia: seja g(x,y)=x²+y². Então
partial fpartial x=2xx^2+y^2, partial fpartial y=2yx^2+y^2

Passo 3

Com isso, o vetor gradiente fica
nabla f(x,y)=(2xx^2+y^2,;2yx^2+y^2)

Passo 4

A derivada direcional em direção ao vetor unitário vec u no ponto p é dada por Dvec uf(p)=nabla f(p)cdotvec u. Avaliando em (1,-1) temos
nabla f(1,-1)=l(tfrac2cdot11+1,;tfrac2cdot(-1)1+1r)=(1,-1)
como vec u=(1/raiz2,1/raiz2), segue
Dvec uf(1,-1)=(1,-1)cdotl(tfrac1raiz2,tfrac1raiz2r)=0

Resposta

nabla f(x,y)=(tfrac2xx^2+y^2,tfrac2yx^2+y^2), Dvec uf(1,-1)=0

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