Qual é a solução geral do sistema de EDOs
l x1^prime(t)=5 x1(t)-x2(t) x2^prime(t)=3 x1(t)+x2(t) ?
a. X(t)=c1 e^4 t[l1 3]+c2 e^2 t[l1 1]
b. X(t)=c1 e^4 t[l1 1]+c2 e^2 t[l1 2]
c. ZXX(t)=c1 e^4 t[l2 1]+c2 e^2 t[l1 3]
d. X(t)=c1 e^4 t[l1 2]+c2 e^2 t[l2 3]
e. X(t)=c1 e^4 t[l1 1]+c2 e^2 t[l1 3]

Passo 1

O enunciado dá o sistema
x1'(t)=5,x1(t)-x2(t) x2'(t)=3,x1(t)+x2(t)
e pede a solução geral X(t). Aqui usamos o método de autovalores e autovetores para sistemas lineares homogêneos com coeficientes constantes.

Passo 2

Escrevemos em forma matricial X'=A,X, com
A = 5 & -1 3 & 1
O próximo passo é obter o polinômio característico de A.

Passo 3

Calculamos
det(A-lambda I) = (5-lambda)(1-lambda)-(-1)cdot3 = lambda^2-6lambda+8
Igualando a zero, temos
lambda^2-6lambda+8=0 Longrightarrow lambda1=4,lambda2=2

Passo 4

Para cada autovalor resolvemos (A-lambda I)v=0.
Para lambda1=4:
(A-4I)=1 & -13 & -3 implies v2=v1
escolhemos v^(1)=11.
Para lambda2=2:
(A-2I)=3 & -13 & -1 implies v2=3v1
escolhemos v^(2)=13.

Passo 5

A solução geral é combinação linear das soluções fundamentais:
X(t) = c1 e^4tv^(1) + c2 e^2tv^(2) = c1 e^4t11 + c2 e^2t13

Resposta

e. X(t)=c1 e^4 t[l1 1]+c2 e^2 t[l1 3]

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