Calcule a área das regiões delimitadas pelas curvas dadas. Escolha segundo sua observação qual o melhor método de integração em relação a
ou a
.
Passo 1
O enunciado pede a área da região fechada pelas curvas
,
e
no primeiro quadrante. Para resolver isso, vamos:
- Encontrar os pontos de interseção dessas curvas.
- Escolher variáveis de integração (escolhemos
porque a região se “parte” naturalmente em dois intervalos de ). - Expressar a área como soma de integrais em função de
.
Passo 2
Calculando as interseções:
-
com , dando o ponto . -
com , dando . -
com , dando o vértice .
Passo 3
Para cada
na região:
- Se
, a parte superior é e a inferior é . - Se
, a parte superior é e a inferior continua sendo .
Passo 4
A área total é
Calculando:
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