Calcule a área das regiões delimitadas pelas curvas dadas. Escolha segundo sua observação qual o melhor método de integração em relação a x ou a y.
y=1x, y=x, y=14 x, com x>0

Passo 1

O enunciado pede a área da região fechada pelas curvas ,y=1/x, ,y=x e ,y=tfrac14x no primeiro quadrante. Para resolver isso, vamos:
  • Encontrar os pontos de interseção dessas curvas.
  • Escolher variáveis de integração (escolhemos x porque a região se “parte” naturalmente em dois intervalos de x).
  • Expressar a área como soma de integrais em função de x.

Passo 2

Calculando as interseções:
  1. y=x com y=1/x ;Rightarrow;x=1/x ;Rightarrow;x=1, dando o ponto (1,1).
  2. y=tfrac14x com y=1/x ;Rightarrow;tfrac14x=1/x ;Rightarrow;x^2=4 ;Rightarrow;x=2, dando l(2,tfrac12r).
  3. y=x com y=tfrac14x ;Rightarrow;x=tfrac14x ;Rightarrow;x=0, dando o vértice (0,0).

Passo 3

Para cada x na região:
  • Se 0<= x<=1, a parte superior é y=x e a inferior é y=tfrac14x.
  • Se 1<= x<=2, a parte superior é y=tfrac1x e a inferior continua sendo y=tfrac14x.

Passo 4

A área total é
A ;=;integral0^1l(x - tfrac14xr),dx ;+;integral1^2l(tfrac1x - tfrac14xr),dx
Calculando:
integral0^1l(x - tfrac14xr),dx =integral0^1tfrac34,x,dx =34cdotx^22|0^1 =38,
integral1^2l(tfrac1x - tfrac14xr),dx =l[ln xr]1^2 ;-;14cdotx^22|1^2 =ln2 ;-;18(4-1) =ln2-38
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A=38+l(ln2-38r)=ln2

Resposta

ln 2

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