Seja z=f(x, y)=x^2+y^2, onde
x=sin t, y=cos t
Use a regra da cadeia para calcular d zd t.

Passo 1

O enunciado diz que temos a função de duas variáveis z=f(x,y)=x^2+y^2, com x=sin t e y=cos t. O conteúdo aqui é derivada de função composta, ou seja, vamos usar a regra da cadeia. Precisamos das derivadas parciais de f em relação a x e y, e também de x e y em relação a t.

Passo 2

Primeiro, calculemos as derivadas parciais de f(x,y)=x^2+y^2. Ao derivar em relação a x tratando y como constante, temos partial fpartial x=2x. De modo análogo, derivando em relação a y dando x como constante, obtemos partial fpartial y=2y.

Passo 3

Agora, vamos achar dxdt e dydt. Como x=sin t, temos dxdt=cos t. E como y=cos t, temos dydt=-sin t.

Passo 4

Aplicando a regra da cadeia, escrevemos:
dzdt=partial fpartial xdxdt+partial fpartial ydydt
Substituindo as derivadas parciais e as derivadas de x e y, fica:
dzdt=2xcdotcos t+2ycdot(-sin t)
Como x=sin t e y=cos t, isso vira
dzdt=2sin tcos t-2cos tsin t

Passo 5

Observe que as parcelas se cancelam: 2sin tcos t-2cos tsin t=0. Ademais, faz sentido: z=sin^2t+cos^2t=1 é constante, logo a derivada é zero.

Resposta

dzdt=0

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