Calcule a integral dupla da função f(x, y)=3 x^2 y+2 x y^2 sobre o retângulo definido por
1 <= x <= 2, 0 <= y <= 1
Ou seja, calcule
integral duplaR(3 x^2 y+2 x y^2) d x d y

Passo 1

Resumo do enunciado: precisamos calcular a integral dupla
integral duplaRl(3x^2y+2xy^2r),dx,dy
sobre o retângulo R: 1<= x<=2, 0<= y<=1. Vamos usar integração iterada, integrando primeiro em y e depois em x.

Passo 2

Integração em y: mantemos x fixo e usamos a linearidade da integral:
integral0^1l(3x^2y+2xy^2r),dy =3x^2integral0^1y,dy+2xintegral0^1y^2,dy .

Passo 3

Cálculo das primitivas em y:
integral y,dy=y^22, integral y^2,dy=y^33
Substituindo os limites de 0 a 1:
3x^2cdot1^22+2xcdot1^33= rac3x^22+ rac2x3

Passo 4

Integração em x: agora calculamos
integral1^2l(3x^22+2x3r)dx =32integral1^2x^2dx+23integral1^2x,dx .

Passo 5

Primitivas em x e avaliação nos limites:
integral x^2dx=x^33, integral x,dx=x^22
Então
l[tfrac32cdottfracx^33+tfrac23cdottfracx^22r]1^2 =l[tfracx^32+tfracx^23r]1^2
Em x=2: 4+tfrac43=tfrac163. Em x=1: tfrac12+tfrac13=tfrac56.

Passo 6

Subtraindo os valores: tfrac163-tfrac56=tfrac32-56=tfrac276=tfrac92 .

Resposta

tfrac92

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